决策单调性优化

决策单调性是对于一些dp式子，比如说ans[i] = max(a[j] + sqrt(i-j)) (j < i)
如果在一个i满足a[j] + sqrt(i-j) < a[k] + sqrt(i - k)且j<k，那么可以发现在i变大的时候j也一定会比k劣，没有优于k的可能。
但是对于这个决策单调性的利用方式却很多。
1.四边形不等式优化二维dp，利用dp[i][j-1]的决策点<=dp[i][j]的<=dp[i+1][j]的。
在求解dp[i][j]的时候就可以缩小决策点范围，做到O(n^2 * d)，其中转移一次的复杂度为O(d)
2.分治法优化形如dp[i][0_{n]转移至dp[i+1][0}n]
这个就是用分治，solve(l,r,ql,qr)表示对于dp[i+1][ql到qr]的决策点已锁定在dp[i][l,r]间，继续往下分治，每次（扫l到r一遍）找到mid = (ql + qr) / 2的决策点k，然后执行solve(l,k,ql,mid-1),solve(k,r,mid+1,qr).
和后面那个比起来编程复杂度基本为0.。。。
3.二分+单调队列维护
既然点的决策点满足单调性，那么我们可以反过来，决策点能够作为最优决策点的点一定是连续的一段区间。
比如说我们用s[i]表示i的最优决策点。
可能它是这样的：
s : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…
= 1 1 2 2 2 3 3 5 6 7 8 …
所以用单调队列维护这些决策点和他们的影响区间。。。。。。
加入一个新点的时候先看能不能将队尾直接挤出，不能再用二分求出各自的影响区间。
细节超多，常数较上一个小了五分之一,也比上一个实用。

例题：[POI2011]Lightning Conductor

分治法

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500005
using namespace std;

int n,a[maxn],ans[2][maxn];
inline double calc(int u,int v){ return sqrt(abs(v-u))+a[u]; }
void solve(int l,int r,int ql,int qr,int ans[maxn])
{
	if(l>r || ql>qr) return;
	int Minloc = l,mid=(ql+qr)>>1;double tmp = calc(l,mid) ,res = 0;
	for(int i=l+1;i<=r && i<=mid;i++) if(tmp<=(res=calc(i,mid))) tmp = res , Minloc = i;
	ans[mid] = max(ans[mid] , int(ceil(tmp)) - a[mid]);
	solve(l,Minloc,ql,mid-1,ans),solve(Minloc,r,mid+1,qr,ans);
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	solve(1,n,1,n,ans[0]);
	for(int i=1;i<n-i+1;i++) swap(a[i],a[n-i+1]);
	solve(1,n,1,n,ans[1]);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",max(ans[0][i],ans[1][n-i+1]));
}

单调队列法：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500005
using namespace std;

char cb[1<<15],*cs=cb,*ct=cb;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<15,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &res){ char ch;for(;!isdigit(ch=getc()););for(res=ch-'0';isdigit(ch=getc());res=res*10+ch-'0'); }
int n,a[maxn],ans[2][maxn];
inline double calc(int u,int v){ return a[u]+sqrt(abs(u-v)); }

void solve(int ans[maxn])
{
	deque<int>q;
	static int l[maxn],r[maxn];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(;q.size()>1 && calc(q.back(),l[q.back()]) <= calc(i,l[q.back()]);q.pop_back());
		if(!q.empty())
		{
			int L = max(l[q.back()],i) , R = r[q.back()]+1;
			for(int mid;L<R;)
			{
				mid = (L+R)>>1;
				if(calc(i,mid) >= calc(q.back(),mid)) R = mid;
				else L = mid+1;
			}
			l[i] = L , r[i] = n;
			r[q.back()] = L-1;
		}
		else l[i] = i , r[i] = n;
		q.push_back(i);
		for(;!q.empty() && r[q.front()] < i;q.pop_front());
		ans[i] = ceil(calc(q.front(),i)) - a[i];
	}
}

int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	solve(ans[0]);
	for(int i=1;i<n-i+1;i++) swap(a[i],a[n-i+1]);
	solve(ans[1]);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",max(ans[0][i],ans[1][n-i+1]));
}

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