题目描述：
Byteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,…, bn. 但是每种硬币有数量限制,现在我们想要凑出面值k求最少要用多少个硬币.
这一题其实很容易看出是一道背包问题，为什么我NOIP2018没有想到，此题应该属于多重背包问题，我们显然可以，将f[i]定为拼出i元需要的最少钞票数，将v定为花费的钞票数，将w定为这些钞票加起来的总价值，再利用多重背包的拆分方法。上链接已述，此处不多做叙述。
但重点在于怎样记录：一开始我的想法是将每个f[i]都记录其转移的来pre[i]，输出的时候向下不断temp=pre[temp]来输出。但这样是不行的
错误代码如下：
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <map> #include <string> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std; typedef long long ll; inline int read() { register int p(1),a(0);register char ch=getchar(); while((ch<'0'&&ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar(); if(ch=='-') p=-1,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') a=a*10+ch-48,ch=getchar(); return a*p; } const int N=210,M=20010; int n,m,f[M],b[N],biao[M][2],zh[M][N],pre[M],hole[N],c[N],temp=1; int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read(); m=read(); memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { temp=1; while((temp<<1)<=c[i]+1&&b[i]*temp<=m) { for(int j=m;j>=b[i]*temp;j--) if(f[j]>f[j-b[i]*temp]+temp) { f[j]=f[j-b[i]*temp]+temp; biao[j][0]=i,biao[j][1]=temp; pre[j]=j-b[i]*temp; } temp<<=1; } if((temp<<1)>=c[i]) { temp=c[i]-temp+1; for(int j=m;j>=b[i]*temp;j--) if(f[j]>f[j-b[i]*temp]+temp) { f[j]=f[j-b[i]*temp]+temp; biao[j][0]=i,biao[j][1]=temp; pre[j]=j-b[i]*temp; } } } printf("%d\n",f[m]); temp=m; while(temp) { printf("%d ",temp); hole[biao[temp][0]]+=biao[temp][1]; temp=pre[temp]; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",hole[i]); return 0; }
这样做连样例都过不了，我们考虑是为什么。首先我们考虑01背包为什么要倒叙循环，因为这样就不会重复使用同一个物品。那么此算法的错误之处就出在这里。
样例中要求拼出的数是10，有2 3 5三个数，其中5 只有一个，那么我们从f[10] ( f[m] ) 开始循环，我们首先取到5，于是我们接着我们循环f[5]这时我们就发现biao[5]在第循环5的时候被修改过了，所以它也用的是5这张钞票，但5的钞票只有一张，于是就出现错误了，显然一维无法解决这个问题了，必须用二维。此题卡空间，int[3000][20000],消耗约228MB，而此题空间上限为64MB，而如果我们使用bool类型就可以过，我们用cun[i][j]，表示在f[i][j]处是否发生转移而下一个要循环的其实是可以算出来为f[i-1][j-w[i]],就这样知道j为0为止
实现如下：
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <map> #include <string> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std; typedef long long ll; inline int read() { register int p(1),a(0);register char ch=getchar(); while((ch<'0'&&ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar(); if(ch=='-') p=-1,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') a=a*10+ch-48,ch=getchar(); return a*p; } const int N=210,M=20010,N2=3010; int n,m,f[M],b[N],v[N2],w[N2],bef[N2],hole[N],c[N],temp=1,cnt=0,ji=0; bool cun[N2][M]; int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read(); m=read(); memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { temp=1; while((temp<<1)<=c[i]+1&&b[i]*temp<=m) { v[++cnt]=temp; w[cnt]=b[i]*temp; bef[cnt]=i; temp<<=1; } if((temp<<1)>=c[i]) { temp=c[i]-temp+1; v[++cnt]=temp; w[cnt]=b[i]*temp; bef[cnt]=i; temp<<=1; } } for(int i=1;i<=cnt;i++) for(int j=m;j>=w[i];j--) { if(f[j]>f[j-w[i]]+v[i]) { f[j]=f[j-w[i]]+v[i]; cun[i][j]=true; } } printf("%d\n",f[m]); temp=m,ji=cnt; while(temp) { while(!cun[ji][temp]&&ji) --ji; temp-=w[ji];hole[bef[ji]]+=v[ji]; --ji; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",hole[i]); return 0; }