一元方程求根

已知 $f(x)=0$，求x.

1.二分法求根

要求： $f(x)$连续，且在[a,b]上有根
优点：简单可靠
缺点：不能求复根和偶重根
解决：选用一个合适的步长h对[a,b]进行扫描搜索，当发现哪个子区间有根时再用二分法求其中之根。

2.牛顿迭代法

优点：具有平方收敛的速度
缺点：

• 重根情形下为局部线性收敛
• 计算量大（除了要计算函数值还要计算导数值）
• 选取的初始值要靠近精确解（解决：先用二分法求出足够精度的 $x_0$再用牛顿法迭代到收敛为止）
  

补充知识

1、泰勒公式

将一个在 $x=x_0$处具有n阶导数的函数 $f(x)$利用关于 $(x-x_0)$的n次多项式来逼近函数的方法。
$f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)$
其中 $f^{(i)}(x)$代表 $x$的 $i$阶导数，剩余的 $R_n(x)$是泰勒公式的余项，是 $(x-x_0)^n$的高阶无穷小。

2、牛顿法对方程重根的处理

• 已知重根的重数m（m>1），利用m构造新的迭代公式
  $x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\quad (k=0,1,...)$
• 未知重根的重数，新迭代公式是
  $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f^{'}(x_k)}{[f^{'}(x_k)]^2-f(x_k)f^{''}(x_k)}\quad (k=0,1,...)$
  缺点：需要求 $f$的2阶导数，计算量大，应用前提是 $f(x)$要简单。