L1,L2正则

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总体概述：

$L_1$正则：

• $L_1 = \alpha\lVert\omega\rVert_1$,其中$\alpha$为惩罚系数，$\omega$为线性模型的参数。表示权值的绝对值之和最小。使他变最小的趋势就是希望模型参数中为0的项多一些，即稀疏。

• 提到L1，自然而然会想到为什么没有L0.其实是有的。L0表示的含义是参数中非零项的个数。他的趋势也是希望模型参数会尽可能多的为0.但是实际上我们常用的却是L1或者L2.原因在于：优化L0范数很难(NP难问题),L1范数优化起来相对容易，并且L1范数是L0的最优凸近似。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择.(一般应用于特征之间有关系，类似降维)

• 使用L1正则化的线性模型叫Lasso回归

  • 求解方法：坐标轴下降法/最小角回归法(不能用梯度下降是因为L1的表达式含有绝对值，在等于0处不可导)

$L_2$正则

• 形式：$L_2 = \alpha\lVert\omega\rVert_2^2$,表式所有参数平方和再开方。对他进行最小化，产生的趋势是使得参数尽量小，即模型更简单些，但是与L1的区别是，尽量小但是达不到0.所以L2正则也叫权值衰减(weights decay)。
• 对常数项不进行惩罚，所以参数值也不能太小，容易使得常数项起主要作用而使模型发生欠拟合。
• 使用L2正则的线性模型为ridge回归，求解方法用梯度下降就可以
• L2的作用在于可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。为什么？我的理解是L2正则使得模型参数非常小(但不为零)，参数越小模型越简单（为啥越简单？我的理解是：假如参数很大，那么输入有特别小的变化的时候，计算出来的数都会有很大的变化，这就容易导致过拟合；如果每个参数都比较小，那么输入有一定的变化的时候，对输出的影响不是很大，泛化能力好），模型越简单越不容易过拟合。

加正则项相当于是对模型加先验，L1正则相当于拉普拉斯先验，L2正则相当于高斯先验

L1和L2的区别

L1和L2的正则化损失表示为如下：

$$Lasso: \min_\omega \frac{1}{n}\lVert y - \omega x\rVert^2, s.t. \sum_{i = 1}^N\vert\omega_i\vert \leq C$$

$$Ridge: \min_\omega\frac{1}{n}\lVert y - \omega x\lVert^2, s.t. \lVert\omega_i\rVert_2\leq C$$

对其进行可视化，假设是一个二维的模型，即只有$\omega_1,\omega_2$两个参数。

我们可以在平面上画出目标函数的等高线，约束条件为平面中半径为C的norm ball（黑色线表示，左侧是L1正则，右侧是L2正则）。等高线和norm ball第一次相交的位置，就是最优解。

可以看出，L1-ball更容易在角的位置和等高线先相交，而角位置都是在轴上，所以肯定有一个为0，这也说明了为啥L1正则会产生稀疏性。L2-ball因为没有角，所以产生稀疏的情况就很少，所以它不具有稀疏性，而只是让参数更加的趋近于0.

因此，一句话总结就是：L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。

参考blog

L1+L2

把L1和L2合在一起，就变成了ElasticNet

$\arg\min_\omega \lVert y - \omega x\rVert +\lambda_1\lVert\omega\rVert_1 + \lambda_2\lVert\omega\rVert_2$

ElasticNet 是一种使用L1和L2先验作为正则化矩阵的线性回归模型.这种组合用于只有很少的权重非零的稀疏模型，比如:class:Lasso, 但是又能保持:class:Ridge 的正则化属性.我们可以使用 l1_ratio 参数来调节L1和L2的凸组合(一类特殊的线性组合)。

当多个特征和另一个特征相关的时候弹性网络非常有用。Lasso 倾向于随机选择其中一个，而弹性网络更倾向于选择两个.
在实践中，Lasso 和 Ridge 之间权衡的一个优势是它允许在循环过程（Under rotate）中继承 Ridge 的稳定性.