线性系统总能被分解成零输入响应和零状态响应。通常我们分开来研究这两种响应的稳定性。
对于零状态响应(zero state),我们有BIBO(bounded-input bounded-output)稳定。
对于零输入响应(zero input),我们有边缘稳定(marginal)和近似稳定(asymptotic)。
BIBO稳定
一个SISO LTI 因果系统可被表示为:(初始状态下relaxed)
(1)
其中为脉冲响应。
BIBO稳定: 对于零状态响应,所有有界输入都会变成有界输出。
定理一:
一个SISO系统被描述为BIBO稳定,当且仅当在为绝对可积的,或者:
定理二:
如果系统响应是BIBO稳定的,那么当:
1. 输入为 产生的输出,对所有接近;
2.输入为产生的输出,对所有的接近 ,
其中是的拉普拉斯变换, 。
定理三:
一个有有理转移函数SISO系统是BIBO 稳定当且仅当的每个极点有负实部或者在左半平面。
例一:
一个正反馈系统的脉冲响应为,可以为正或负。我们有:
且
推广:
- 多变量系统;
定理一:每个脉冲响应在 都绝对可积.
定理三:的每个极点有负实部或者在左半平面。
例二:
有状态方程:
,
转移函数:
所以它是BIBO稳定。
- 离散系统:
一个SISO系统被描述为:
定理一:一个离散系统当且仅当 在 绝对可加或者存在常数 使 成立。
定理二:如果脉冲响应序列是BIBO稳定的,那么当:
1. 输入为 产生的输出,对所有接近;
2.输入为产生的输出,对所有的接近 ,
这里是的z变换,
定理三:具有有理转系函数的离散SISO系统,当且仅当的每个极点的大小都小于1时BIBO稳定。
例三:
离散LTI系统,,and ,
所以这个系统不是BIBO的。
- MIMO离散系统
定理一:脉冲响应序列的绝对可加性;
定理三:脉冲响应序列的极点大小小于1。
零输入响应的稳定性
零输入系统 ,初始状态为 。
等式的解为。
定义:一个零输入系统或像 的等式边缘稳定,如果每个有限初始状态 激励出一个有界的响应。一个零输入系统近似稳定如果每个有限初始状态激励出有界响应,并且响应在时接近于0。
定理:
1. 等式 边缘稳定当且仅当的所有特征值有零或负实部;
2. 等式 近似稳定当且仅当的所有特征值都有负实部。
推广到离散系统的定理:
1. 等式 边缘稳定当且仅当的所有特征值的幅值小于或等于1;
2. 等式 近似稳定当且仅当的所有特征值的幅值小于1。
李雅普诺夫理论