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解题思路
提供一种打表新思路
先来证明一个其他题解都没有证明的结论：\(ans[i]\)是可由\(ans[i-1]\)线性递推的。
（\(ans[i]\)表示\(i\)个盘子全部移走的步数）
感谢keytoyzi神仙的神仙思路
首先，在最初两层移动的时候，遵循的移动顺序规则是题中所给的顺序。
在\(n\)个盘子都在\(A\)柱的时候，我们是怎么做的呢？
先把前\(n-1\)个盘子按照遵循初始顺序规则的方法移动到\(B\)或\(C\)；
再对第\(n\)个盘子进行操作；
再进行某些操作（后文会展开）；
最后所有盘子移动到\(B\)或者\(C\)。
这等价于：
每一层对应一个新规则，把前\(n-1\)层盘子看做一层，那就相当于按照这个新的规则移动一个两层的东西。
这个新规则是啥意思呢？光说理论太难以理解，上图：
解释一下：\(n-1\)代表前\(n-1\)个盘子，这些盘子根据初始规则可能移动到\(B\)或者\(C\)，而把他们看做一个整体后，相当于上图的遵循初始规则的移动方式，而这种新的移动方式，就是一个新的规则。
再来两张状态转移的图：
（单箭头表示这一步操作优先级高于另一侧）
解释一下这张图。
刚开始对于前\(n\)个盘子形成的新规则：
\(AB>AC\)，\(BC>BA\)，\(CA>CB\)。
根据这个规则进行第\(n+1\)层的操作：（以\(A \to C\)为例）
先把\(A\)上的前\(n\)个盘子扔到\(B\)上；（\(A(n)\)）
再把\(A\)最底下的第\(n+1\)个盘子扔到\(C\)上；（\(1\)）
再把扔到\(B\)上的前\(n\)个盘子扔到\(C\)上。（\(B(n)\)）
故总步骤数为\(A(n)+1+B(n)\)。
同理，那么这就给出了一组递推关系。
易得，如果\(n\)满足左图，则\(n+1\)满足右图；
如果\(n\)满足右图，则\(n+1\)满足左图。
也就是说，这两张图中的状态可以互相转换。
又，\(ABC\)是等价的，故这张图对应了一种可能的答案（答案\(1\)）。
这张图更复杂一些，不过实质和刚刚的相同。
以\(A\to B\)为例。
先把\(A\)上的前\(n\)个盘子扔到\(B\)上；（\(A(n)\)）
再把\(A\)最底下的第\(n+1\)个盘子扔到\(C\)上；（\(1\)）
再把\(A\)上的这n个盘子扔回\(A\)上；（\(B(n)\)）
再把\(C\)上的第n+1个盘子扔到\(B\)上；（\(1\)）
再把\(A\)上的那\(n\)个盘子扔回\(B\)上。（\(B(n)\)）
故总步骤数为\(A(n)+1+B(n)+1+B(n)\)。
同理易得，如果n满足左图，则n+1满足右图；
如果\(n\)满足右图，则\(n+1\)满足左图。
也就是说，这两张图中的状态还是可以互相转换。
而在这张图上，\(AB\)是等价的，\(C\)是另一种情况，故这张状态图对应了两种可能的答案：
\(AB\)对应的状态为初始\(A\)柱（答案\(2\)）
或
\(C\)对应的状态为初始\(A\)柱（答案\(3\)）。
好，那么现在对应这三种情况做一种简单的分析。
对于第一种答案：
\(ABC\)等价，故\(A(n)=B(n)=C(n)=ans_1[n]\)
由图中的递推公式，\(ans_1[n+1]=ans_1[n]*2+1\)
对于第二种答案：
\(AB\)等价，\(A(n)=B(n)=ans_2[n]\)
\(ans_2[n+1]=ans_2[n]*3+2\)
对于第三种答案：
\(AB\)等价，\(A(n)=B(n)=ans_2[n]\)
\(ans_3[n+1]=ans_2[n]+ans_3[n]+1\)
这是一个线性表达式。
证毕。
所以，我们只需要知道移动一个盘子、两个盘子、三个盘子的情况，即可知道递推公式进而求解。
手动模拟打表，容易得到以下结果：
（\(ans[i]\)表示i个盘子全部移走的步数）
一个盘子：
\(ans[1]=1\)
两个盘子：
\((1)AB>AC\)
①\(BC>BA\)，\(ans[2]=3\)
②\(BC<BA\)，\(ans[2]=5\)
\((2)AB<AC\)
这里可以看做把\(BC\)柱子换了个位置
①\(ans[2]=3\)：原\(BC>BA\)，把\(BC\)换了个位置后变成\(CB>CA\)
②\(ans[2]=5\)：原\(BC<BA\)，同理变成\(CB<CA\)
三个盘子：
\((1)AB>AC\)
①\(BC>BA\)
\((i)CB>CA\)，\(ans[3]=9\)
\((ii)CB<CA\)，\(ans[3]=7\)
②\(BA>BC\)
\(ans[3]=17\)
\((2)AB<AC\)
同理，不再赘述
下附递推AC代码：
#include<stdio.h>
char a[4];
int seq[3][3];
long long ans[40];
int main(){
int i,n;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<6;i++){
scanf("%s",a);
seq[a[0]-'A'][a[1]-'A']=6-i;
}
if(seq[0][1]>seq[0][2]){//AB>AC
if(seq[1][2]<seq[1][0]){//BC<BA
ans[2]=5;ans[3]=17;
}else{
if(seq[2][0]>seq[2][1]){//CA>CB
ans[2]=3;ans[3]=7;
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;
}
}
}else{//AB<AC
if(seq[2][1]<seq[2][0]){//CB<CA
ans[2]=5;ans[3]=17;
}else{
if(seq[1][0]>seq[1][2]){//BA>BC
ans[2]=3;ans[3]=7;
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;
}
}
}
ans[1]=1;
int b=(ans[2]*ans[2]-ans[1]*ans[3])/(ans[2]-ans[1]);
int k=(ans[2]-b)/cnt1;
for(i=4;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]*k+b;
printf("%lld",ans[n]);
return 0;
}
其实，这已经没有必要写成递推形式了。我们在讨论三种答案的时候，其实已经可以手算算出三种情况的O(1)表达式了。
来一发最短AC代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef long long ll;
char a[4];
int s[9],p,n,i=6;
ll f(int x){
if(x==1)return (ll)2*pow(3,n-1)-1;
if(x)return (ll)pow(2,n)-1;
return (ll)pow(3,n-1);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
while(i--)scanf("%s",a),s[(a[0]-'A')*3+a[1]-'A']=i;
if(s[1]>s[2]){
if(s[5]<s[3])p=1;
else if(s[6]>s[7])p=2;
}else if(s[7]<s[6])p=1;
else if(s[3]>s[5])p=2;
printf("%lld",f(p));
return 0;
}