有关二分和二分答案的粗略见解

题目链接

摸鱼助教Mogg Ⅱ

洛谷原题（除了多组数据都是相同的）链接：

P1182 数列分段Section II

解题思路

二分答案。

什么？什么是二分答案？~~我没听过~~

不要紧，希望这篇文章能帮助~~不会二分答案的~~你更好地理解二分的思想。

~~（神犇求放过）~~

不扯了，谈正题。

大家都做过一个单调递增函数找零点的题吧，比如这个

还记得怎么做么？什么，没记得做过这个题？~~那请您先去做一遍。~~

先回到最初的起点。

在我们初入程设的时候，循环语句就成为陪伴我们的梦魇朋友。就拿这个题举例子吧，我可以写一个这样的程序来做这道题：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define pi acos(-1)//π的常用定义方法，建议记住
double f(double x,double y){
    return (sin(sqrt(x))+exp(-pow(x,1.0/3)))/log(pi*x)-y;
    //易错点！！！！！写成1/3就错了！！！千万千万要注意！
}
int main(){
    double i,y;
    scanf("%lf",&y);
    for(i=0.33;i<=10;i+=1e-6)if(f(i,y)<0)break;
    //因为这个函数是单调减的，找到小于零的点就跳出输出即可
    printf("%.5f",i); 
    return 0;
}

不出所料，这个程序~~很快地~~TLE了
显示不出来的话换谷歌或者360浏览器吧

然后就开始~~怀疑人生~~

~~什么？我花了好久写的这么好的程序？就这样T掉了？？？？~~

于是，开始想更妙的做法。

重点来了

我们观察到，这个函数是单调递减的。也就是说，如果用循环寻找答案的话，是一个非常浪费计算量的事情。我们可以利用二分的思想，每次截掉肯定不合理的左端或右端，写出以下的程序：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define pi acos(-1)
double f(double x,double y){
    return (sin(sqrt(x))+exp(-pow(x,1.0/3)))/log(pi*x)-y;
}
int main(){
    double i,y;
    scanf("%lf",&y);
    double left=0.33,right=10,mid,eps=1e-10;
    while(right-left>eps){//当左右夹的区间太大时
        mid=(left+right)/2;
        if(f(mid,y)>0)left=mid;//如果大于零，那么删掉左区间
        else right=mid;//否则删掉右区间
    } 
    printf("%.5f",left); 
    return 0;
}

显示不出来的话换谷歌或者360浏览器吧

这就很快乐了。注意到，这种精度能达到\(1e-10\)的程序只需要\(9ms\)，相比之下暴力循环求解精度\(1e-6\)都要\(TLE\)。

其实，可以证明，这种算法的复杂度是\(O(log n)\)的。

回顾一下做这个题的思路。因为函数具有单调性，所以可以通过不断二分达到不断缩小答案区间的目的。请仔细理解这句话。

现在再回去看这道题。

从头开始，~~倒霉的~~学弟学妹开始每个人搬一堆书，这道题的意思就是问所有人中，搬书重量最大的那个人搬书重量的最小值。

什么意思呢？

简单来说，就是把每个人要搬的所有书（假设书的高度与重量成正比）摞起来，再拿一个标尺，问这个标尺至少要多高才能把所有人的书都盖住。

那么我们现在看的这个标尺，是不是和刚刚的那个函数有点相像啊？

我当然可以通过枚举标尺的高度得到答案，但是会慢很多。

于是，我们可以二分地寻找这个标尺的高度，这类似寻找刚刚函数的零点。

找到一个答案下限，找到一个答案上限，在这个区间内二分查找合理答案。

请思考：这个答案下限和答案上限分别是多少？

想好了再回来。

不给出答案。直接贴代码。

#include<stdio.h>
int a[100010];
int main(){
    int n,m,i;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        //~是取反，相当于scanf()!=EOF
        //注意这里没有先初始化a[i]数组，因为没必要
        //但是一定要注意有必要的时候千万别忘了初始化定义在外面的变量
        int left=0,right=0;
        for(i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]>left)left=a[i];
            right+=a[i];
        } 
        while(left<right){
            int mid=(left+right)/2;
            int count=0,sum=0;
            //从这里开始判断这个标尺（mid）是太高了还是太低了
            for(i=0;i<n;i++){
                if(sum+a[i]<=mid)sum+=a[i];
                else{
                    sum=a[i];
                    count++;
                }
            }
            count++;
            if(count>m)left=mid+1;//如果标尺太低了，那么就升高
            //一定要注意这里的是mid+1而不是mid！！
            //请仔细思考这是为什么
            else right=mid;//否则降低
        }
        printf("%d\n",left);
    }
    return 0;
}