题解-bzoj2560 串珠子

刚被教练数落了一通，心情不好，来写篇题解

Problem

bzoj2560

题目简述：给定\(n\)个点的，每两个点\(i,j\)之间有\(c_{i,j}\)条直接相连的路（其中只能选一条或不选），问共有多少种方案可以使得整张图连通。\(n\leq 16\)

Solution

算是遇到的没那么套路的容斥题了 虽然还是有点套路

发现\(n\leq 16\)各种暗示我们要状压，于是按照以往状压的题的套路，设\(f(S)\)表示当\(S\)集合中的点连通方案数

发现不是很好直接计算，但总方案数又很好得出，于是考虑容斥，设\(g(S)\)表示集合\(S\)中的点之间随意相连的方案数

根据定义可得

\[g(S)=\prod_{i,j\in S}(c_{i,j}+1)\]

想法用\(g\)去消掉\(f\)不满足题意的方案数，联想到城市规划中的做法：限定\(1\)号节点的连通集合大小

类似的，这里可以限定\(S\)中编号最小的点连通大小（当然编号最大的点也行）

枚举\(S\)中编号最小的点连通块大小，可以得到（设\(H\)为集合\(S\)中去除最小元素的集合）：

\(f(S)=g(S)-\sum_{T\subseteq H}g(T)f(S-T)\)

题目之间类比关系好多啊，比如上一篇就是二项堆和AC自动机的类比

Code

#include <cstdio>
const int N=18,M=1<<N,p=1e9+7;
int g[M],f[M],bin[N];
int a[N][N],n;

inline int qm(int x){return x<p?x:x-p;}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<n;++j)
        scanf("%d",&a[i][j]);
    bin[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(int S=0,s;S<bin[n];++S){
        f[S]=1;
        for(int i=0;i<n;++i)if(bin[i]&S)
        for(int j=i+1;j<n;++j)if(bin[j]&S)
            f[S]=1ll*f[S]*(a[i][j]+1)%p;
        g[S]=f[S],s=(S-1)&S;
        for(int i=s;i;i=(i-1)&s)
            f[S]=qm((int)f[S]-1ll*g[i]*f[S^i]%p+p);
    }
    printf("%d\n",f[bin[n]-1]);
    return 0;
}