https://blog.csdn.net/hanlin_tan/article/details/52448803
全变分（Total variation），也称为全变差，是图象复原中常用的一个名词。本文简要介绍全变分的概念以及在图象去噪中的应用。
一维信号的全变分和去噪
一维连续函数的全变分
一维连续实函数f(x)f(x)在区间[a,b]⊂R[a,b]⊂R上的全变分定义为参数曲线x→f(x),x∈[a,b]x→f(x),x∈[a,b]的弧长。其表达式为
Vba(f)=∫ba|f′(x)|dx
Vab(f)=∫ab|f′(x)|dx
说白了，所谓的“变分”就是|f(x+Δx)−f(x)||f(x+Δx)−f(x)|，对于连续函数Δx→0Δx→0。而全变分是对函数定义的区间而言的，就是将“变分”在区间上累加起来。
一维离散信号的全变分
从上面连续实函数的全变分，我们可以很容易想到它的离散形式。给出信号序列{yi},i=1,..,n{yi},i=1,..,n，它的全变分定义为
V(y)=∑i=1n|yi+1−yi|
V(y)=∑i=1n|yi+1−yi|
用一句话来概括，全变分是前后项之差的绝对值之和。
一维信号去噪
当我们得到观察信号xixi，希望xixi变得平滑，也就是对xixi去噪。一种很直观的想法就是让信号的全变分变小。全变分对应的物理意义就是输入信号的平滑度。设得到的恢复信号为yiyi，它应该满足两个条件：
yiyi与观察信号xixi的差距不大。这个差距的常用数学表达式就是
E(x,y)=12∑i(xi−yi)2
E(x,y)=12∑i(xi−yi)2
yiyi的全变分不大。
将物理约束转化为数学模型，求解yy等价于求解下面这个优化问题：
minyE(x,y)+λV(y)
minyE(x,y)+λV(y)
其中参数λλ是正常数，用于调节两个约束的作用大小。注意到E(x,y)E(x,y)和V(y)V(y)都是凸函数，这是一个无约束凸优化问题，有很多经典方法可以求解。
二维离散信号（图象）的全变分和去噪
图象是典型的二维离散信号，Rudin在1992年将其全变分定义为
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2
这个函数是各项同性的，但是不可微，也并不是凸函数。非凸函数的优化求解难度、速度和稳定性都无法与凸函数相比。因此二维全变分有另一种常用定义
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2−−−−−−−−−−−√+|yi,j+1−yi,j|2−−−−−−−−−−−√=∑i,j|yi+1,j−yi,j|+|yi,j+1−yi,j|
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2=∑i,j|yi+1,j−yi,j|+|yi,j+1−yi,j|
这个函数是凸函数了。
仿照一维信号的去噪，基于全变分的图象去噪可以看成求解优化问题
minyE(x,y)+λV(y)
minyE(x,y)+λV(y)
其中E(x,y)E(x,y)作为数据误差项定义为
E(x,y)=12∑i,j(xi,j−yi,j)2
E(x,y)=12∑i,j(xi,j−yi,j)2
当VV有凸函数形式时，问题变为无约束凸优化问题，从而容易求解。
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作者：TomHeaven
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/hanlin_tan/article/details/52448803
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