美团笔试题（一）-[编程题] 拼凑钱币

[编程题] 拼凑钱币

给你六种面额 1、5、10、20、50、100 元的纸币，假设每种币值的数量都足够多，编写程序求组成N元（N为0~10000的非负整数）的不同组合的个数。

输入描述:

输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10000)

输出描述:

输出一个整数,表示不同的组合方案数

输入例子1:

1

输出例子1:

1

分析：其中假设所有的钱币总数为 $V = {V_0, V_1, V_2, \dots, V_i}$。总共有 $i$ 种钱币。我们用 $dp[i][n]$ 表示用 i 种钱币表示组成 n 元的组合数。我们依次分析12元以内的硬币组合数量。

当我们只使用1种硬币的时候，所有的组合情况如下：

使用硬币数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
只使用1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1和5	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3
1、5和10	1	1	1	1	2	2	2	2	2	4	4

依次往下。

当我们增加一种硬币（硬币5）的时候，组合的结果相对于只使用1来说是，在原有只有1的统计基础上行，增加 1 个5元硬币输出的组合情况 + 增加2个5元硬币输出得组合情况 + … + 直到增加到最大的 5 元硬币数量为止。就如具体的取$n=10$来说明。

当我们新增加一个5元硬币时，使用硬币5的所有次数取值范围为 $0, 1, 2$。其中 $2 = max[\frac {n}{5}]$。

我们分情况来考虑：

1. 当使用0个5元时，就是上面用1组成数字n的情况；
2. 当时用1个5元时，就是上面用1组成数字n-5的情况；
3. 当使用2个5元时，就是上面用1组成数字n-2*5的情况。

所以，当使用1和5两种硬币表示数字n=10的时候，就是讲上面的所有情况累加$dp[2][10]=dp[1][10]+dp[1][5]+dp[1][0]$。总结成通用的公式就如下所示

$$dp[i+1][n] = \sum_{i=0}^k dp[i][n-i\times v_{i+1}] \qquad k =0,1,\dots, max[n/v_{i+1}]$$

代码实现如下：

public class Solution {
    static int[] values = {1,5,10,20,50,100};
    static int combine(int n) {
        n++; // 主要是需要多增加一个为0的时候空位，不然会出错
        int[][] dp = new int[values.length][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < values.length; i++) {
            for (int j = 0,k; j < n; j++) {
                k = j/values[i];
                while(k>=0){
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-k*values[i]];
                    k--;
                }
                System.out.print(dp[i][j]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
        return dp[values.length-1][n-1];
    }
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(combine(20));
    }
}