常州大学新生寒假训练会试大佬的生日大礼包

现在做新生题都很艰难了，为啥其他人都觉得很水，给跪了。

考虑给定3种元素个数 $a,b,c$ ，如何判断他们能否形成交错排列。
为了分析方便，设 $a\ge b\ge c$ 。首先，将 $c$ 摆好，那么最优情况下：

(1) $c$ 之间形成的 $c-1$ 个间隔可以放置 $a,b,ab,aba,bab,abab$ ；
(2)第一个 $c$ 之前与最后一个 $c$ 之后可以放置两段 $ab$ 构成的交错排列。

也就是说，先在(1)中的区间放置一些可选的排列，使得放满之后剩余的 $a,b$ 数目满足 $|a-b|\le 2$ 即可。
可以发现，放置 $ab,abab$ 之类消耗相同元素个数的方案不是最优的，因为他们并不会使得 $|a-b|$ 变化，同时也消耗了更多的元素（我们应当尽可能减少元素的消耗防止在某个区间没有元素可放）。同样的，放置 $aba,bab$ 也不是最优的。那么最后的方案就很显然了，即先依次放置 $a-b-2$ 个 $a$ ，接着交替放置 $a$ 和 $b$ 即可，容易证明这是一定满足要求的。
故我们可以得到，对于给定元素个数 $a,b,c$ ，如果他们能够形成交错排列，则： $c\ge a-b-1$ 。

回到问题，在二分时我们需要判断：对于给定的 $m$ ，是否存在 $a\le A,b\le B,c\le C$ ，使得 $a+b+c=m$ 且他们能够形成交错排列。
考虑直接用 $A,B,C$ 进行判断：
如果 $C\ge A-B-1$ ，那么我们将他们形成的交错排列取掉 $C-m$ 个前缀元素或者后缀元素即可；
否则，我们将 $A$ 减掉 $A-B-(C+1)$ ，使得其满足要求。容易证明此时是最优的情况。那么如果 $A+B+C-A+B+C+1=2(B+C)+1\ge m$ ，则存在我们需要的交错排列。

二分即可。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<random>
using namespace std;
//--Container
//--
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
typedef long long ll;
int ar[3];
bool _cl(int m){
    int tr[3]={ar[0]-m,ar[1]-m,ar[2]};
    if(tr[0]<0||tr[1]<0||tr[0]+tr[1]+tr[2]<m)return 0;
    sort(tr,tr+3);
    if(tr[0]>=tr[2]-tr[1]-1)return 1;
    if(tr[0]*2+tr[1]*2+1<m)return 0;
    return 1;
};
 
void cl(){
    int b,e,m,d;scanf("%d %d %d",&ar[0],&ar[1],&ar[2]);
    for(b=0,e=3000000;b<=e;){
        m=(b+e)>>1;
        if(_cl(m))d=m,b=m+1;
        else
            e=m-1;
    }
    printf("%d\n",d);
};
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int t;scanf("%d",&t);while(t--)cl();
    return 0;
};

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