[URAL-1132] Square Root

Description

The number x is called a square root of a modulo n (root( a, n)) if x * x = a (mod n). Write the program to find the square root of number a by given modulo n.

Input

One number K in the first line is an amount of tests ( K ≤ 100000). Each next line represents separate test, which contains integers a and n (1 ≤ a, n ≤ 32767, n is prime, a and n are relatively prime).

Output

For each input test the program must evaluate all possible values root( a, n) in the range from 1 to n − 1 and output them in increasing order in one separate line using spaces. If there is no square root for current test, the program must print in separate line: ‘No root’.

Example

Input

5
4 17
3 7
2 7
14 31
10007 20011

Output

解题分析

二次剩余模板题，这里用 $Cipolla$ 算法做，只讨论奇质数的情况。

首先我们有欧拉准则：
$\exists x, x^2\equiv a(mod\ p)\Leftarrow\Rightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)$
证明：

充分性：
$a^{\frac{p-1}{2}} \\ \equiv (x^2)^{\frac{p-1}{2}} \\ \equiv x^{p-1} \\ \equiv1(mod\ p)$
必要性：

设 $g$ 为 $p$ 的原根， $g^{i}\equiv a(mod\ p)$ 。

那么有 $g^{\frac{i(p-1)}{2}}\equiv 1(mod\ p)$

就有 $(p-1)|\frac{i(p-1)}{2}$ ，即 $i$ 为偶数。

那么 $x$ 有一组解为 $g^{\frac{i}{2}}$ 。

对于一组 $a,n$ ，我们已经可以用欧拉准则判定是否有解（特判2）。

现在我们先需要找到一组满足 $b^2-a=w$ ，且w为非二次剩余的 $b$ 和 $w$ 。这个也很好做，只需要瞎 $rand()$ b，然后判 $w^{\frac{p-1}{2}}$ 是否在 $mod\ p$ 意义下等于 $-1$ 就好了。

不妨扩域，设 $i=\sqrt{w}$ ，将一个数表示为 $a+bi$ ，类似于复数。

定义代数系统 $<G,+,\times>$ 满足：
$(a_1,b_1i)+(a_2,b_2i)=(a_1+a_2,(b_1+b_2)i) \\ (a_1,b_1i)*(a_2,b_2i)=(a_1a_2+b_1b_2w,(a_1b_2+a_2b_1)i)$
那么可以发现， $G$ 实际上是一个环，满足结合律、交换律。

然后又有一个神仙结论： $x=(b+i)^{\frac{p+1}{2}}$ 。

证明（以下都在模 $p$ 意义下讨论）：
$x^2= (b+i)^{p+1} \\ =(b+i)^p(b+i) \\ =\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}b^ki^{p-k}(b+i)$
发现 $\binom{p}{k}$ 当且仅当 $k=0$ 或 $k=p$ 的时候后不被 $p$ 整除，那么有
$\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}b^ki^{p-k}(b+i) \\ =(b^p+i^p)(b+i) \\ =(b+i^p)(b+i) \\ =(b+i\times (i^2)^{\frac{p-1}{2}})(b+i) \\ =(b+i\times w^{\frac{p-1}{2}})(b+i) \\ =(b-i)(b+i) \\ =b^2-w$
得证。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
struct QF {ll re, im, w;};
struct INFO {ll b, w;};
IN QF operator * (const QF &x, const QF &y) {return {x.re * y.re + x.w * y.im * x.im, x.im * y.re + y.im * x.re, x.w};}
IN QF operator + (const QF &x, const QF &y) {return {x.re + y.re, x.im + y.im, x.w};}
IN QF fpow(QF x, R ll tim, R ll mod)
{
	QF ret = {1, 0, x.w};
	W (tim)
	{
		if (tim & 1) ret = ret * x;
		x = x * x, tim >>= 1;
		ret.re %= mod, ret.im %= mod;
		x.re %= mod, x.im %= mod;
	}
	return ret;
}
IN ll fpow(R ll base, R ll tim, R ll mod)
{
	ll ret = 1;
	W (tim)
	{
		if (tim & 1) ret = ret * base % mod;
		base = base * base % mod, tim >>= 1;
	}
	return ret;
}
IN bool check(R int val, R int n) {return fpow(val, (n - 1) / 2, n) == 1;}
IN INFO find(R int a, R int n)
{
	ll b;
	W (233)
	{
		b = rand() % n;
		if (!check((b * b % n - a + n) % n, n)) return {b, (b * b % n - a + n) % n};
	}
}
int main(void)
{
	using namespace std;
	int T, n, a; INFO dat; ll res;
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin >> T;
	W (T--)
	{
		cin >> a >> n; a %= n;
		if (n == 2) {cout << "1" << endl; continue;}
		if (!check(a, n)) {cout << "No root" << endl; continue;}
		dat = find(a, n);
		res = fpow({dat.b, 1, dat.w} ,((n + 1) >> 1), n).re;
		if (res * 2 == n) cout << res << endl;
		else
		{
			if (res * 2 > n) res = n - res;
			cout << res << " " << n - res << endl;
		}
	}
}