正规阵

正规阵定义：方阵A有$A^HA=AA^H=I$，$A \in C^{n \times n}$

常见正规阵：

(1)Hermite阵都是正规阵

(2)斜Hermite阵都是正规阵

(3)酉阵都是正规阵

(4)对角阵都是正规阵

正规阵的性质：

(1)若$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}B&C\\0&D\end{array}} \right]$正规，B和C都为方阵，则$C=0$且B和D都正规

(2)若$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}B&0\\C&D\end{array}} \right]$正规，B和C都为方阵，则$C=0$且B和D都正规

\[B{B^H} = {B^H}B + {C^H}C \Rightarrow tr(B{B^H}) = tr({B^H}B) + tr({C^H}C) \Rightarrow tr({C^H}C) = 0 \Rightarrow \sum {{c_{ij}}^2 = 0} \Rightarrow C = 0\]

\[C{C^H} + D{D^H} = {D^H}D \Rightarrow tr(C{C^H}) + tr(D{D^H}) = tr({D^H}D) \Rightarrow tr({C^H}C) = 0 \Rightarrow \sum {{c_{ij}}^2 = 0} \Rightarrow C = 0\]

所以$C=0$，带入得：

$B{B^H} = {B^H}B$和$D{D^H} = {D^H}D$，所以B和D均为正规阵

(3)

(i)$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}& \otimes & \otimes & \otimes \\0&{{b_{12}}}& \otimes & \otimes \\0&0&{...}& \otimes \\0&0&0&{{b_{nn}}}\end{array}} \right]$，若B正规，则$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&0&0&0\\0&{{b_{12}}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{b_{nn}}}\end{array}} \right]$（对角阵）

(ii)$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}& \otimes & \otimes & \otimes \\0&{{b_{12}}}& \otimes & \otimes \\0&0&{...}& \otimes \\0&0&0&{{b_{nn}}}\end{array}} \right]$，若B为严格上三角，即对角线以上元素必有非0值，则B为非正规。

同理，下三角也有上述两条定理。

正规阵判定方法：

(1)A正规$ \Leftrightarrow $$A \pm cI$正规

(2)

(i)A正规$ \Leftrightarrow $ $Q^{-1}AQ=Q^HAQ$正规，Q为酉阵

(i)A不正规$ \Leftrightarrow $ $Q^{-1}AQ=Q^HAQ$不正规，Q为酉阵

正规阵分解定理：若方阵A正规，则存在酉阵Q，使得$Q^{-1}AQ=Q^HAQ=D= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right]$

证明：

由Schur分解定理得到，存在酉阵Q使得

\[{Q^{ - 1}}AQ = {Q^H}AQ = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}& \otimes & \otimes & \otimes \\
0&{{\lambda _2}}& \otimes & \otimes \\
0&0&{...}& \otimes \\
0&0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right]\]

因为A正规，则D也正规，由正规阵的性质(3)(i)得到，D为对角阵，所以定理得证。

由正规阵分解定理可知，正规阵都是单阵。

正规谱分解：

若$A=A_{n \times n}$正规，则有正规谱分解，且全体不同根为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$：则有

\[A = {\lambda _1}{G_1} + {\lambda _2}{G_2} + ... + {\lambda _k}{G_k}\]

$G_i$有四个性质：

(1)$G_i+...+G_k=I$

(2)$G_iG_j=0$

(3)$G_i^2=G_i$

与普通的单阵谱分解不同，正规谱分解有这个性质(4)$G_i^H=G_I$，这是因为正规阵分解定理中的矩阵Q是酉阵

猜你喜欢