BFPRT算法 线性时间选择第k小元素

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BFPRT算法

1. 应用场景

线性时间内，从无序列表找到第k小的元素。

2. 基本思想

• 首先把数组按5个数为一组进行分组，最后不足5个的忽略。对每组数进行排序（如插入排序）求取其中位数。
• 把上一步的所有中位数移到数组的前面，对这些中位数递归调用BFPRT算法求得他们的中位数。
• 将上一步得到的中位数作为划分的主元进行整个数组的划分。
• 判断第k个数在划分结果的左边、右边还是恰好是划分结果本身，前两者递归处理，后者直接返回答案。

3. 算法实现

void bubble_sort(int* a, int left, int right){
	int tmp;
	for(int i=left; i<right; i++){
		for(int j=right; j>i; j--){
			if(a[j] < a[j-1]) tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
		}
	}
} 

int partition(int* a, int left, int right, int baseIdx){
	int j = left - 1, tmp; 
	//将基准放于数组尾部 
	tmp = a[right], a[right] = a[baseIdx], a[baseIdx] = tmp;
	for(int i=left; i<right; i++){
		if(a[i] <= a[right]) tmp = a[i], a[i] = a[++j], a[j] = tmp;
	}
	tmp = a[right], a[right] = a[++j], a[j] = tmp;
	return j;
}

int bfprt(int* a, int left, int right, int k){
	if(right - left +1 <= 5){ //小于等于5个数，直接排序得到结果 
		bubble_sort(a, left, right);
		return a[left + k -1];
	} 
	int t = left - 1, tmp;  //t:当前替换到前面的中位数的下标 
	for(int st = left, ed; (ed=st+4) <= right; st += 5){
		bubble_sort(a, st, ed);
		//将中位数替换到数组前面，便于递归求取中位数的中位数
		tmp = a[++t], a[t] = a[st+2], a[st+2] = tmp;
	}
	int baseIdx = (left + t) >> 1; //left到t的中位数的下标，作为主元的下标
	bfprt(a, left, t, baseIdx-left + 1); //不关心中位数的值，保证中位数在正确的位置
	int idx = partition(a, left, right, baseIdx), cur = idx - left + 1;
	if(k == cur) return a[idx];
	else if(k < cur) return bfprt(a, left, idx-1, k);
	else return bfprt(a, idx+1, right, k-cur); 
}

4. 复杂度分析

划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到 $n/5$个中位数，再递归求取中位数，复杂度为 $T(n/5)$。

得到的中位数 $x$作为主元进行划分，在 $n/5$个中位数中，主元 $x$大于其中 $1/2*n/5=n/10$的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元 $x$至少大于所有数中的 $n/10*3=3/10*n$个。同理，主元 $x$至少小于所有数中的 $3/10*n$个。即划分之后，任意一边的长度至少为 $3/10$，在最坏情况下，每次选择都选到了 $7/10$的那一部分，则递归的复杂度为 $T(7/10*n)$。

在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为 $c*n$，其中 $c$为常数。其总的时间复杂度满足 $T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n$。

我们假设 $T(n)=x*n$，其中 $x$不一定是常数（比如 $x$可以为 $n$的倍数，则对应的 $T(n)=O(n^2))$。则有 $x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n$，得到 $x<=10*c$。于是可以知道 $x$与 $n$无关， $T(n)<=10*c*n$，为线性时间复杂度算法。而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得 $n$个数中的第 $k$个数。

5. References

https://www.cnblogs.com/informatics/p/5092741.html