MATLAB稀疏矩阵

稀疏矩阵稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵，即矩阵中包括较多的零元素。对于稀疏矩阵的这种特性，在MATLAB中可以只保存矩阵中非零元素及非零元素在矩阵中的位置。在用稀疏矩阵进行计算时，通过消去零元素可以减少计算的时间。7.1 稀疏矩阵的存储方式对一般矩阵而言，MATLAB保存矩阵内的每一个元素，矩阵中的零元素与其他元素一样，需要占用同样大小的内存空间。但对于稀疏矩阵，MATLAB仅存储稀疏矩阵中的非零元素及其对应的位置，其他空余位置只是在访问时以默认的零元素来填充。对于一个含有大量零元素的大型矩阵，采用这种方法可以大大地减少数据占据的内存空间。MATLAB采用3个内部数组来保存元素为实数的稀疏矩阵。稀疏矩阵也可用于存储复数。当稀疏矩阵用于存储复数数据时，需用第4个内部数组保存非零复数的虚部。一个复数非零，是指其实部或虚部至少其中一个不为零。【例2-16】 稀疏矩阵与一般矩阵的内存占用对比。>> M_full = magic(1100); % 创建一个1100´1100 矩阵>> M_full(M_full > 50) = 0; % 将>50的元素设置为0>> M_sparse = sparse(M_full); % 创建稀疏矩阵>> whos Name Size Bytes Class Attributes M_full 1100x1100 9680000 double M_sparse 1100x1100 9608 double sparse 本例中，M_full和 M_sparse两个变量存储的实际上是同一个矩阵，但是二者因为采用的存储形式分别为一般矩阵和稀疏矩阵，所以占用的内存量却相差了近1000倍。因为MATLAB版本不同，操作系统不同（例如32位和64位），内部存储格式也有些变化，但总体上来说占用的内存空间比一般矩阵小很多。7.2 稀疏矩阵的创建MATLAB决不会自动地创建一个稀疏矩阵，这需要用户来决定是否使用稀疏矩阵。在创建一个矩阵前，用户需要根据此矩阵中是否包含较多的零元素，采用稀疏矩阵技术是否有利，来决定是否采用稀疏矩阵的形式。把矩阵中非零元素的个数除以所有元素的个数，就叫做矩阵的密度，密度越小的矩阵采用稀疏矩阵的格式越有利。要将一般矩阵转换为稀疏矩阵，可以使用函数sparse，如s=sparse (A)，是指将矩阵A转换为稀疏矩阵。另外，使用函数full则可把稀疏矩阵转换为一般矩阵。【例2-17】 一般矩阵与稀疏矩阵的转换示例。>> A=[0 0 0 1;0 1 0 0;1 2 0 0;0 0 3 0]A = 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0>> s=sparse(A)s = (3,1) 1 (2,2) 1 (3,2) 2 (4,3) 3 (1,4) 1>> B=full(s)B = 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0从本例的结果中可以看出所有s的非零元素列表及其对应的行列序号。所有非零元素保存在一列中，反映了数据的内部结构。稀疏矩阵的创建一般有以下几种方式。1．直接创建稀疏矩阵使用函数sparse，可以用一组非零元素直接创建一个稀疏矩阵。该函数调用格式为：S=sparse(i,j,s,m,n)其中i和j都为矢量，分别是指矩阵中非零元素的行号与列号，s是一个全部为非零元素矢量，元素在矩阵中排列的位置为(i,j)。m为输出的稀疏矩阵的行数，n为输出的稀疏矩阵的列数。【例2-18】 稀疏矩阵的创建。>> S=sparse([1 3 2 1 4],[3 1 4 1 4],[1 2 3 45],4,4)S = (1,1) 4 (3,1) 2 (1,3) 1 (2,4) 3 (4,4) 5>> full(S)ans = 4 0 1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 5本例中通过sparse函数直接创建了稀疏矩阵S。sparse函数中的前两个输入变量[1 3 2 1 4]和[3 1 4 1 4]就是元素在矩阵中排列的位置，第3个输入变量[1 2 3 4 5]就是稀疏矩阵前面两个输入变量中的位置所对应的元素的值，而最后的两个输入变量4是指输出的稀疏矩阵的行数是4，输出的稀疏矩阵的列数同样也为4。通过full函数把稀疏矩阵转换为一般矩阵，这样就可以清楚地看出sparse函数输入和输出之间的关系。需要指出的是：函数sparse还有一个变化形式，可以设置最大数目的非零元素。如有必要，可以在函数sparse中添加第6个输入参数，设置稀疏矩阵中非零元素的最大数目，这样以后要在矩阵中添加非零元素，就无需再修改矩阵的结构。具体的使用方法请查阅help文档。2．从对角线元素中创建稀疏矩阵要将一个矩阵的对角线元素保存在一个稀疏矩阵中，可以使用函数spdiags。其调用格式为：S=spdiags(B,d,m,n)函数spdiags用于创建一个尺寸为m行n列的稀疏矩阵S，其非零元素来自矩阵B中的元素且按对角线排列，参数d指定矩阵B中用于生成稀疏矩阵B的对角线位置。矩阵的主对角线可以认为是第0条对角线，每向右上移动一条对角线编号加1，向左下移动一条对角线编号减1，也就是说B中的j列填充矢量d元素，j指定对角线。【例2-19】 稀疏矩阵的创建。>> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12]B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12>> d=[-3 0 2]d = -3 0 2>> A=spdiags(B,d,7,4) A = (1,1) 2 (4,1) 1 (2,2) 5 (5,2) 4 (1,3) 9 (3,3) 8 (6,3) 7 (2,4) 12 (4,4) 11 (7,4) 10>> full(A)ans = 2 0 9 0 0 5 0 12 0 0 8 0 1 0 0 11 0 4 0 0 0 0 7 0 0 0 0 10本例生成了一个7行4列的稀疏矩阵A。B的第1列元素排列在主对角线以下的第3条对角线上，第2列元素排列在主对角线上，第3列中的非零元素排列在主对角线上方的第2条对角线上。这里需要注意B中的第三列并没有全部分布在第2条对角线上，而是最后两个元素9和12排列在该对角线上。3．从外部文件中导入稀疏矩阵用外部文件创建的文本文件，如果该文件中的数据按3或者4列排列，则可将这个文本文件载入内存，用于创建一个稀疏矩阵。【例2-20】 稀疏矩阵的创建。假如有这样一个文件uphill.dat（用户可以通过记事本打开、编辑其内容），文件内含有以下数据：1 1 1.0000000000000001 2 0.5000000000000002 2 0.3333333333333331 3 0.3333333333333332 3 0.2500000000000003 3 0.2000000000000001 4 0.2500000000000002 4 0.2000000000000003 4 0.1666666666666674 4 0.1428571428571434 4 0.000000000000000那么通过使用load命令可以将此数据文件载入MATLAB，然后对其进行操作。实际中用户可以在命令窗口输入：>> load uphill.dat % 用load命令将数据的文本文件uphill.dat载入工作空间>> H = spconvert(uphill)H = (1,1) 1.0000 (1,2) 0.5000 (2,2) 0.3333 (1,3) 0.3333 (2,3) 0.2500 (3,3) 0.2000 (1,4) 0.2500 (2,4) 0.2000 (3,4) 0.1667 (4,4) 0.1429> >> full(H)ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0 0.3333 0.2500 0.2000 0 0 0.2000 0.1667 0 0 0 0.1429本例首先使用load函数导入了一个3列数据的文本文件uphill.dat，用户可以通过在命令行中输入变量名uphill 可以查看数据uphill 中的具体内容来验证数据读取是否正确，然后调用spconvert将uphill 转换为相应的稀疏矩阵H。通过调用full函数可以直观地看出得到的稀疏矩阵。MATLAB使用load函数来导入外部数据文件，具体的用法可以参阅第10章。7.3 稀疏矩阵的运算多数MATLAB自带的数学函数都可用于处理稀疏矩阵，此时可以将稀疏矩阵当做一般矩阵看待。另外MATLAB也提供有一些专门针对稀疏矩阵的函数。处理稀疏矩阵时，计算的复杂程度与稀疏矩阵中非零元素的数目成正比，也与矩阵的行列尺寸有关。比如稀疏矩阵的乘法、乘方、包含一定次数的线性方程组等，都是比较复杂的运算。用函数处理稀疏矩阵时，计算结果要遵循以下一些原则。（1）MATLAB函数处理一个矩阵时，不管这个矩阵是一般矩阵还是稀疏矩阵，其返回值为一个数值或矩阵。返回值都按一般矩阵方式进行保存，并不会根据接受的参数是稀疏矩阵，而将结果保存为稀疏矩阵。（2）函数处理一个数值或矢量返回一个矩阵时，如果矩阵为零矩阵、元素全为1的矩阵、随机矩阵或单位矩阵，这些矩阵全为一般矩阵形式。对于零矩阵，有一种类似稀疏矩阵的存储方法，因为零矩阵中没有非零元素，所以不能将一个零矩阵转换为一个稀疏矩阵，但指令zeros(m,n)和sparse(m,n)是可用的。对于单位矩阵和随机矩阵，可以使用类似稀疏矩阵的操作指令，即speye和sprand。对于元素全为1的矩阵，则没有类似的操作指令。（3）以矩阵为参数返回矩阵或矢量的一元函数，返回值的存储类型与参数的存储类型相同。例如矩阵S的cholesky分解，如果S为一般矩阵，结果也为一般矩阵；如果S为稀疏矩阵，结果也为稀疏矩阵。对于列向处理矩阵的函数，如求各列最大值的函数max，求各列之和的函数sum等，也都返回与参数相同的存储类型。如果参数是稀疏矩阵，即使返回的矩阵或矢量全为非零元素，也用稀疏方式表示。例外情况只有函数sparse和full，因为它们用于一般矩阵和稀疏矩阵之间的转换。（4）对于有两个输入参数为矩阵的情况，如果输入的两个矩阵都为稀疏矩阵，则输出仍为稀疏矩阵；都为一般矩阵，结果也为一般矩阵。如果输入参数一个为稀疏矩阵，一个为一般矩阵，结果通常为一般矩阵，但在能够保证矩阵稀疏性不变的运算中，结果则为稀疏矩阵。（5）使用方括号对矩阵进行组合时，如果组合的矩阵中有稀疏矩阵，结果则为稀疏矩阵。（6）子矩阵在右边的赋值操作，返回值为右边子矩阵的储存类型，子矩阵在左边赋值不改变其储存类型。【例2-21】 稀疏矩阵的组合。>> A=[1 0 0;0 0 1;1 2 0]A = 1 0 0 0 0 1 1 2 0>> B=sparse(A)B = (1,1) 1 (3,1) 1 (3,2) 2 (2,3) 1>> C=[A(:,1),B(:,2)]C = (1,1) 1 (3,1) 1 (3,2) 2本例将矩阵A的第1列和矩阵B的第2列组成了新的矩阵C，从结果可知，C为稀疏矩阵。【例2-22】 稀疏矩阵子矩阵的赋值。>> A=[1 0 0;0 0 1;1 2 0];>> B=sparse(A);>> C=sparse(cat(1,full(B),A))C = (1,1) 1 (3,1) 1 (4,1) 1 (6,1) 1 (3,2) 2 (6,2) 2 (2,3) 1 (5,3) 1>> i=[1 2 3];>> j=[1 2 3];>> T=C(i,j)T = (1,1) 1 (3,1) 1 (3,2) 2 (2,3) 1>> C(j,i)=full(T) % 将一般矩阵赋值给一稀疏矩阵，仍返回稀疏矩阵C = (1,1) 1 (3,1) 1 (4,1) 1 (6,1) 1 (3,2) 2 (6,2) 2 (2,3) 1 (5,3) 17.4 稀疏矩阵的交换与重新排序稀疏矩阵S的行交换与列交换可以用以下两种方法表示。（1）对于交换矩阵P，对稀疏矩阵S进行行交换可表示为PS，进行列交换可表示为PS’。（2）对于一个交换矢量p，p为一般矢量包含1到n个自然数的一个排列。对稀疏矩阵进行行交换，可以表示为S(p,:)。S(:,p)为列交换形式。对于矩阵S的某一列进行行交换，可以表示为S(p,n)，如S(p,1)为对第1列进行交换。【例2-23】 稀疏矩阵S的交换。>> p=[1 3 2 4];>> S=eye(4,4)S = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1>> P=S(p,:)P = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1>> V=S(p,2)V = 0 0 1 0矩阵P的第1行为S的第1行，第2行为S的第3行，等等。即对矩阵S的行，按照矢量p指定的顺序进行调整。>> S1=speye(4,4)S1 = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1>> P1=S1(p,:) % 对于稀疏矩阵行列的交换，返回的形式仍为稀疏矩阵P1 = (1,1) 1 (3,2) 1 (2,3) 1 (4,4) 1对于稀疏矩阵S1进行行列的交换，返回的P1仍为稀疏矩阵。对稀疏矩阵的列重新排序，有时可以使矩阵分解的速度更快，最简单的矩阵排序是根据矩阵中非零元素的个数进行的，这种方法对于元素极不规则的矩阵很有效，特别适用于非零元素在行或列中数目变化较大的矩阵。MATLAB提供有一个非常简单的函数colperm，可以实现这种排序方法。此函数的M文件仅有以下几行：function p=colperm(S)if ~ismatrix(S) % 判断输入变量是否是一个矩阵 error(message(‘MATLAB:colperm:invalidInput’)); % 不满足条件的话返回错误信息end[~,p] = sort(full(sum(S ~= 0, 1)));程序的第5行，实现了以下4个功能。（1）调用S ~= 0判断矩阵中各元素是否为0，若不为0则返回逻辑值1。（2）函数sum求上一步创建的矩阵各列的和，也即为各列中非零元素的个数。（3）函数full将上一步创建的矢量转换为一般矢量的格式。（4）使用函数sort对上一步操作创建的矢量元素进行升序排序，函数sort的第2个输出参数p，即为对矩阵S中各列中非零元素的个数进行重新排序的交换矢量。【例2-24】 对下面的矩阵A，先用函数colperm获取一个交换矢量p，然后根据矢量p对矩阵A的列，按照非零元素的个数升序排序。>> A=[0 1 2 3;3 2 1 0;0 0 2 0;1 0 0 2]A = 0 1 2 3 3 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2>> p=colperm(A)p = 1 2 4 3>> B=A(:,p)B = 0 1 3 2 3 2 0 1 0 0 0 2 1 0 2 0结果显示，矩阵B就是将A的各列按照非零元素的个数升序排序的结果。7.5 稀疏矩阵视图MATLAB提供有spy函数，用于观察稀疏矩阵非零元素的分布视图。本小节举例来说明spy函数的用法。【例2-25】 稀疏矩阵视图示例。本例采用spy函数绘制Buckminster Fuller网格球顶的60×60邻接矩阵视图。这个矩阵还可用来表示碳60模型和足球。>>B = bucky;>>spy(B)

得到的结果如图2-2所示。图中显示了稀疏矩阵B的非零元素分布视图。