深度学习1

激活函数

激活函数（activation function）：将输入信号的总和转换为输出信号。

阶跃函数

python代码实现：

def step_function(x):
	y = x > 0
	return y.astype(np.int)  

对NumPy数组进行不等号运算后 ，数组的各个元素生成一个布尔型数组。
astype()方法转换NumPy数组的类型，数组y的元素类型从布尔型转换为int型。

图1 阶跃函数的图形

sigmoid 函数

sigmoid 函数数学公式：
$h(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
python代码实现：

def sigmoid(x):
	return 1 / (1 + np.exp(-x))

图2 sigmoid 函数的图形

ReLU函数

ReLU：Rectified Linear Unit

sigmoid 函数数学公式：
$f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & & (x>0)\\ y & & (x<0) \\ \end{aligned} \right.$
python代码实现：

def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

图3 ReLU函数的图形

三层神经网络的实现

3层神经网络：
输入层（第0 层）有2 个神经元，
第1 个隐藏层（第1 层）有3 个神经元，
第2 个隐藏层（第2 层）有2 个神经元，
输出层（第3 层）有2 个神经元。

神经网络符号含义

图4 权重的符号

各层间信号传递的实现

图5 从输入层到第1层的信号传递

神经元“1”表示偏置，其右下角的索引号只有一个。这是因为前一层的偏置神经元（神经元“1”）只有一个。

用数学式表示 $a1^{(1)}$，通过加权信号和偏置的和按如下方式进行计算
$a1^{(1)}=w11^{(1)}x1+w12^{(1)}x2+b1^{(1)}$ 使用矩阵的乘法运算，则可以将第1层的加权和表示成下面的式子
$A^{(1)}=XW^{(1)}+B^{(1)}$

其中 $A^{(1)}$、 $X$、 $B^{(1)}$、 $W^{(1)}$、如下所示。

$A^{(1)}=\begin{pmatrix}a1^{(1)} & a2^{(1)} & a3^{(1)}\end{pmatrix}$， $X=\begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix}$， $B^{(1)}=\begin{pmatrix}b1^{(1)} & b2^{(1)} & b3^{(1)}\end{pmatrix}$,

$W^{(1)}=\begin{pmatrix} w_{11}^{(1)} & w_{21}^{(1)} &w_{31}^{(1)} \\ w_{11}^{(1)} & w_{21}^{(1)} &w_{31}^{(1)} \end{pmatrix}$

图6 从输入层到第1层的信号传递

$a$表示隐藏层的加权和（加权信号和偏置的总和）
$z$表示激活函数转换后的信号
$h()$ 表示激活函数，这里使用sigmoid 函数

图7 第1层到第2层的信号传递

图8 从第2层到输出层的信号传递

这里使用identity_function()恒等函数作为输出层的激活函数，记为 $σ()$。

三层网络python代码实现

import numpy as np

def sigmoid(x):
	return 1 / (1 + np.exp(-x))

def identity_function(x):
	return x

def init_network():
	network = {}
	network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
	network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
	network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
	network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
	network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
	network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])

	return network

def forward(network, x):
	W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
	b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

	a1 = np.dot(x, W1) + b1
	z1 = sigmoid(a1)
	a2 = np.dot(z1, W2) + b2
	z2 = sigmoid(a2)
	a3 = np.dot(z2, W3) + b3
	y = identity_function(a3) # 或者Y = A3

	return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y) # [ 0.31682708 0.69627909]

softmax函数

公式如下：
$y_{k}= \frac {e^{a_{k}}} {\sum_{i=1}^{n}e^{a_{i}}}$
softmax 函数的分子是输入信号 $a_{k}$的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。

机器学习的问题大致可以分为分类问题和回归问题。回归问题用恒等函数，分类问题用softmax 函数

手写数字识别

MNIST数据集是由0到9的数字图像构成的。训练图像有6万张，测试图像有1万张。

神经网络的输入层有784个神经元，输出层有10个神经元。
输入层的784这个数字来源于图像大小的28 × 28 = 784，输出层的10这个数字来源于10类别分类（数字0到9，共10类别）。
这个神经网络有2个隐藏层，第1个隐藏层有50个神经元，第2个隐藏层有100个神经元。这个50和100可以设置为任何值。

import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist
from common.functions import sigmoid, softmax


def get_data():
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test


def init_network():
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network


def predict(network, x):
    w1, w2, w3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, w1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, w2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, w3) + b3
    y = softmax(a3)

    return y


x, t = get_data()
network = init_network()

batch_size = 100 # 批数量
accuracy_cnt = 0

for i in range(0, len(x), batch_size):
    x_batch = x[i:i+batch_size]
    y_batch = predict(network, x_batch)
    p = np.argmax(y_batch, axis=1)
    accuracy_cnt += np.sum(p == t[i:i+batch_size])

print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x))) # Accuracy:0.9352

p = np.argmax(y)
获取概率最高的元素的索引。矩阵的第0维是列方向，第1维是行方向。

>>> x = np.array([[0.1, 0.8, 0.1], [0.3, 0.1, 0.6],
... [0.2, 0.5, 0.3], [0.8, 0.1, 0.1]])
>>> y = np.argmax(x, axis=1)
>>> print(y)
[1 2 1 0]

np.sum(p == t[i:i+batch_size])

NumPy数组之间使用比较运算符（==）生成由True/False构成的布尔型数组，并计算True的个数

>>> y = np.array([1, 2, 1, 0])
>>> t = np.array([1, 2, 0, 0])
>>> print(y==t)
[True True False True]
>>> np.sum(y==t)
3

对神经网络的输入数据进行某种既定的转换称为预处理（pre-processing）。
作为对输入图像的一种预处理，我们进行了正规化（normalization）。
将数据整体的分布形状均匀化的方法，即数据白化（whitening）。
输入数据的集合称为批。通过以批为单位进行推理处理，能够实现高速的运算。