数据结构Project 报告

毒液哥 Fudan University

问题描述与定义

维护一个二维平面上的数据结构，要求支持：

插入一个点
删除一个点
插入一个多边形
删除一个多边形
询问一个点在哪些多边形内部
询问一个多边形内部有哪些点

算法设计流程

朴素算法

若给定一个点和一个多边形，我们知道可以使用射线法判断该点是否在该多边形中。

那么很容易地，我们得到一个朴素的算法：用vector记录每个插入；用unordered_map记录每个元素是否删除；对于每个询问点，暴力查询插入过的未删除的多边形，用射线法判断其是否在该多边形中。

改进1-线段树优化

若一个点在一个边数为 $n$ 的多边形中，则它在x轴上的投影（以下用投影代替）一定在多边形的投影的内部。射线法的复杂度为 $O(n)$ ，若能用不多于 $O(n)$ 的时间排除一个投影不在多边形投影中的点，算法的时间性能可以提升。

使用线段树维护，将一个点或多边形根据其在的投影插入到线段树中。询问操作时先在线段树中查询到所有投影被包含的点，再分别射线法判断。

由于线段树只能维护整数坐标，考虑将原坐标放大 $1e11$ 倍后取整。

改进2-将多边形拆分成若干条线段

若要判断一个点是否在一个边数为 $n$ 的凸多边形中，射线法的复杂度为 $O(n)$ 。但一条射向y轴负方向的射线（以下用射线代替），只会经过该凸多边形的一条边，而射线法却会判断多边形所有的边。

若以一点为起点的射线，经过了多边形的某条边，则该点的投影一定在该边的投影内部。

改进上一个算法，将多边形拆分成若干条边（每条边要储存多边形编号），根据其所在的投影插入到线段树中。

每次查询一个多边形时，用一个unordered_map记录每个点穿过了该多边形几次，将该多边形每条边根据其投影在线段树上对点进行查询。

查询点同理，用一个unordered_map记录每个多边形被该点穿过了几次，将该点根据其投影在线段树上对每条线段进行查询。

改进3-对原坐标进行适当缩放

改进2算法在本机运行时间约1分钟，经过调试发现，插入操作占用约55秒。

考虑降低插入操作的用时。在改进2中，坐标的范围在经过缩放操作后达到2 ^ 60级别，这会导致线段树层数达到60层，且线段树节点必须用long long类型保存。为了缩小坐标范围，我们直接将原坐标取整。这会导致改进2中的性质——若以一点为起点的射线，经过了多边形的某条边，则该点的投影一定在该边的投影内部——退化。由“投影内部”退化为“投影内部及附近”。因此，插入部分的性能会提高，但查询部分的性能会降低。若想继续提高插入部分性能，可以将坐标继续缩小，反之若想提高查询部分性能，则要将坐标放大。