https://www.cnblogs.com/Gloid/p/10273902.html
这篇文章已经从头到尾讲的非常清楚了，几乎没有什么需要补充的内容。
首先$O(n\log^2 n)$的做法比较显然，倍增优化建图+最短路即可。
然后利用“每个塌陷最多会被使用一次”的性质，为每个塌陷（边也看作一种塌陷）建一个点跑一个变体的Dijkstra就可以优化到$O((n+m)\log n)$。
这里讲下我最后一步的实现。
为每个塌陷找未标记的点很简单，并查集f[i]表示离i最近的未被标记的祖先，每次标记i后f[i]=get(fa[i])即可。
为每个点找未标记的塌陷相对复杂，分两种情况考虑。
一是x是这个塌陷的LCA，这个很好处理，开个vector存储以每个点为LCA的所有塌陷即可。
二是塌陷的一个端点在x子树内，一个在子树外。
设x的子树的DFS序区间为[L,R]
考虑每次取出“一个端点在x的子树中，另一个端点的DFS序尽量小”的未标号的塌陷，若此塌陷的另一个端点在L之前则说明这个塌陷过点x。
更新完后再把这个塌陷删掉，直到取出的塌陷在L之后。同理，对“尽量大”的塌陷也做一遍，直到这个塌陷另一个端点DFS序在R之前。
于是我们要支持的是，查询一个端点在某个区间中的所有塌陷的另一个端点最小/大值。
线段树维护每个区间中的这个信息，同时在线段树的叶子上，用堆维护“以这个点为端点的所有塌陷的另一个端点”。
由于尽量小和尽量大都要做一边，所以要开一个大根堆和一个小根堆。
实现起来可能没有什么细节，只是要注意代码不要写残，自己证一遍复杂度，否则可能不小心就写成$O(n\log^2 n)$的了。
1 #include<queue> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #define ls (x<<1) 5 #define rs (ls|1) 6 #define lson ls,L,mid 7 #define rson rs,mid+1,R 8 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 9 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) 10 typedef long long ll; 11 using namespace std; 12 13 const int N=250010,M=850010; 14 ll inf=1e15; 15 bool tag[M],b[M]; 16 ll dis[M]; 17 int n,m,S,u,v,w,cnt,tot,tim; 18 int pos[N],f[N],L[N],R[N],dep[N],fa[N][20]; 19 int h[N],to[N<<1],nxt[N<<1],mn[N<<2],mn1[N<<2],mx[N<<2],mx1[N<<2]; 20 struct E{ int L1,R1,L2,R2,w; }e[M]; 21 vector<int>ve[N]; 22 23 struct P{ int id,s; }; 24 bool operator <(const P &a,const P &b){ return a.s<b.s; } 25 struct Cmp{ bool operator ()(const P &a,const P &b){ return a.s>b.s; } }; 26 priority_queue<P,vector<P>,Cmp>Q1[N]; 27 priority_queue<P>Q2[N]; 28 29 struct D{ int x; ll d; }; 30 bool operator <(const D &a,const D &b){ return a.d>b.d; } 31 priority_queue<D>Q; 32 33 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; } 34 int get(int x){ return f[x]==x ? x : f[x]=get(f[x]); } 35 36 void dfs(int x){ 37 dep[x]=dep[fa[x][0]]+1; L[x]=++tim; pos[tim]=x; 38 rep(i,1,19) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; 39 For(i,x) if ((k=to[i])!=fa[x][0]) fa[k][0]=x,dfs(k); 40 R[x]=tim; 41 } 42 43 int Lca(int x,int y){ 44 if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 45 int t=dep[x]-dep[y]; 46 for (int i=19; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i]; 47 if (x==y) return x; 48 for (int i=19; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; 49 return fa[x][0]; 50 } 51 52 void upd(int x){ 53 if (mn1[ls]<mn1[rs]) mn[x]=mn[ls],mn1[x]=mn1[ls]; else mn[x]=mn[rs],mn1[x]=mn1[rs]; 54 if (mx1[ls]>mx1[rs]) mx[x]=mx[ls],mx1[x]=mx1[ls]; else mx[x]=mx[rs],mx1[x]=mx1[rs]; 55 } 56 57 void build(int x,int L,int R){ 58 if (L==R){ 59 int p=pos[L]; mn1[x]=n+1; mx1[x]=-1; 60 if (!Q1[p].empty()) mn[x]=Q1[p].top().id,mn1[x]=Q1[p].top().s; 61 if (!Q2[p].empty()) mx[x]=Q2[p].top().id,mx1[x]=Q2[p].top().s; 62 return; 63 } 64 int mid=(L+R)>>1; build(lson); build(rson); upd(x); 65 } 66 67 void que(int x,int L,int R,int l,int r,bool k,int &s,int &s1){ 68 if (L==l && r==R){ 69 if (!k) s=mn[x],s1=mn1[x]; else s=mx[x],s1=mx1[x]; 70 return; 71 } 72 int mid=(L+R)>>1; 73 if (r<=mid) que(lson,l,r,k,s,s1); 74 else if (l>mid) que(rson,l,r,k,s,s1); 75 else{ 76 int a,a1,b,b1; 77 que(lson,l,mid,k,a,a1); que(rson,mid+1,r,k,b,b1); 78 if (!k){ if (a1<b1) s=a,s1=a1; else s=b,s1=b1; } 79 else { if (a1>b1) s=a,s1=a1; else s=b,s1=b1; } 80 } 81 } 82 83 void del(int x,int L,int R,int p,bool k){ 84 if (L==R){ 85 p=pos[p]; 86 if (!k){ 87 Q1[p].pop(); mn[x]=0; mn1[x]=n+1; 88 if (!Q1[p].empty()) mn[x]=Q1[p].top().id,mn1[x]=Q1[p].top().s; 89 }else{ 90 Q2[p].pop(); mx[x]=0; mx1[x]=-1; 91 if (!Q2[p].empty()) mx[x]=Q2[p].top().id,mx1[x]=Q2[p].top().s; 92 } 93 return; 94 } 95 int mid=(L+R)>>1; 96 if (p<=mid) del(lson,p,k); else del(rson,p,k); 97 upd(x); 98 } 99 100 void solve1(int x){ 101 int u=e[x].L2,v=e[x].R2,lca=Lca(u,v); 102 u=f[u]; v=f[v]; 103 while (dep[u]>=dep[lca] || dep[v]>=dep[lca]){ 104 if (!u && !v) break; 105 if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); 106 if (!tag[u]) dis[u]=min(dis[u],dis[x+n]),Q.push((D){u,dis[u]}); 107 tag[u]=1; u=f[u]=get(fa[u][0]); 108 } 109 } 110 111 void solve2(int x){ 112 int ed=ve[x].size()-1; 113 rep(i,0,ed){ 114 int k=ve[x][i]; 115 if (!tag[k+n]) tag[k+n]=1,dis[k+n]=min(dis[k+n],dis[x]+e[k].w),Q.push((D){k+n,dis[k+n]}); 116 } 117 while (1){ 118 int mn,mn1,mx,mx1; 119 que(1,1,n,L[x],R[x],0,mn,mn1); 120 que(1,1,n,L[x],R[x],1,mx,mx1); 121 if (mn1>=L[x]) mn=0; 122 if (mx1<=R[x]) mx=0; 123 if (!mn && !mx) break; 124 if (mn){ 125 if (!tag[mn+n]) dis[mn+n]=min(dis[mn+n],dis[x]+e[mn].w),Q.push((D){mn+n,dis[mn+n]}); 126 tag[mn+n]=1; del(1,1,n,L[e[mn].L1]+L[e[mn].R1]-mn1,0); 127 } 128 if (mx){ 129 if (!tag[mx+n]) dis[mx+n]=min(dis[mx+n],dis[x]+e[mx].w),Q.push((D){mx+n,dis[mx+n]}); 130 tag[mx+n]=1; del(1,1,n,L[e[mx].L1]+L[e[mx].R1]-mx1,1); 131 } 132 } 133 } 134 135 void Dij(){ 136 rep(i,1,n+tot) dis[i]=inf; dis[S]=0; Q.push((D){S,0}); tag[S]=1; 137 while (!Q.empty()){ 138 int x=Q.top().x; Q.pop(); 139 if (b[x]) continue; 140 b[x]=1; 141 if (x>n) solve1(x-n); else solve2(x); 142 } 143 } 144 145 int main(){ 146 freopen("bzoj4699.in","r",stdin); 147 freopen("bzoj4699.out","w",stdout); 148 scanf("%d%d%d",&n,&m,&S); 149 rep(i,2,n) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),e[++tot]=(E){u,u,v,v,w},e[++tot]=(E){v,v,u,u,w},add(u,v),add(v,u); 150 dfs(1); 151 rep(i,1,n) f[i]=i; 152 rep(i,1,m) tot++,scanf("%d%d%d%d%d",&e[tot].L2,&e[tot].R2,&e[tot].L1,&e[tot].R1,&e[tot].w); 153 rep(i,1,tot){ 154 int u=e[i].L1,v=e[i].R1,lca=Lca(u,v); 155 ve[lca].push_back(i); 156 Q1[u].push((P){i,L[v]}); Q2[u].push((P){i,L[v]}); 157 Q1[v].push((P){i,L[u]}); Q2[v].push((P){i,L[u]}); 158 } 159 build(1,1,n); Dij(); 160 rep(i,1,n) printf("%lld\n",dis[i]); 161 return 0; 162 }