向量空间

Vector Spaces

1.A

1. 列表都是有长度的。不存在无限长度。

1.B

1. $F^{\infty}$定义
   $F^{\infty}=\{(x_1,x_2,\cdots) :x_j\in F ,(j=1,2,\cdots)\}$

2. $F^S$的定义

   • $S$是一个集合, 那么 $F^S$ 是一个从 $S$映射到 $F$的所有函数的集合。

   • 如果 $f,g\in F^S$, 那么 $f+g\in F^S$ 定义为
     $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 对于所有 $x\in S$

   • 如果 $\lambda\in F$， $f\in F^{S}$, 那么 $\lambda f \in F^S$
     定义为 $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ 对于所有 $x\in S$

1.C

1. 子空间的条件

   如果 $U$ 是 $V$ 的一个子空间的充要条件如下

   • additive identity $0\in U$

   • closed under addition $u,w\in U \Rightarrow u+w\in U$

   • closed under scalar multiplication
     $a\in F, u \in U \Rightarrow au \in U$

2. 子空间和的定义

   $U_1+U_2+\cdots+U_m=\{u_1+u_2+\cdots+u_m:u_1\in U_1,\cdots,u_m\in U_m\}$

3. 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间。

   • 证明子空间的和 $(U_1+U_2+\cdots+U_m)$是一个向量空间

   • $U_1+U_2+\cdots+U_m$包含所有的 $U_1,U_2,\cdots,U_m$

   • 任何一个包含 $U_1,U_2,\cdots,U_m$的子空间都包含 $U_1+U_2+\cdots+U_m$

4. 直和的定义 $U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_m$
   $U_1+U_2+\cdots+U_m$
   中的每一个元素由唯一的 $u_1+u_2+\cdots+u_m$确定,其中 $u_j\in U_j$

5. $U_1+U_2+\cdots+U_m$
   是直和的充要条件是，当 $u_1+u_2+\cdots+u_m=0$则 $u_j=0,j\in \{1,2,\cdots,m\}$

   • 如果
     $U_1+U_2+\cdots+U_m\equiv U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m$,那么
     $u_1+u_2+\cdots+u_m=0$只有一种形式，也就是全部 $u_j=0,(j=1,2,\cdots,m)$.因为
     如果 $u_j\neq 0$,那么 $0$将会有第二种表示形式
     $-u_1+-u_2+\cdots+-u_j+\cdots-u_m=0$

   • 如果 $u_1+u_2+\cdots+u_m=0$ 那么 $u_j=0,j\in \{1,2,\cdots,m\}$.
     但是如果 $U_1+U_2+\cdots+U_m$ 仍然含有 $v$ 具有两种表示形式
     $v=u_1+u_2+\cdots+u_m, v=u_1^{'}+u_2^{'}+\cdots+u_m^{'}$

     那么， $v-v=(u_1-u_1^{'})+(u_2-u_2^{'})+\cdots+(u_m-u_m^{'})$
     $u_1=u_1^{'}, u_2=u_2^{'},\cdots,u_m=u_m^{'}$.
     也就是说 $v$只有一种表示形式。

6. $U+V$ 是直和的充要条件是 $U\cap V=\{0\}$

   • 如果 $U+V\equiv U\oplus V$,假如有 $v\in U\cap V$且 $v\neq 0$.
     也就是说 $v+-v=0$这是0的有一种表示形式（ $0+0=0$）.
     从上一个定理可 知 $U\oplus V$
     只有一种0（ $0+0=0$）的表示形式。所以假设不成立

   • 如果 $U\cap V=\{0\}$,假设 0 in $U+V$
     中0有两种表示形式，并且其中一个为 $v+-v=0$, 且 $v\neq 0$.
     那么就一定有 $v\in U\cap V$,那么我们的假设不成立

   • 注意，对于三个以及三个以上的集合是不成立的，比如当
     $U_1\cap U_2=U_2\cap U_3=U_3\cap U_1=\{0\}$
     时，并不能得出 $U_1+U_2+U_3\equiv U_1\oplus U_2\oplus U_3$

Exercises