初学FWT(快速沃尔什变换) 一点心得

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FWT能解决什么

• 有的时候我们会遇到要求一类卷积，如下：
  $\large C_i=\sum_{j⊕k=i}A_j*B_k$此处乘号为普通乘法， $⊕$表示一种位运算，如 与 $and(\&)、$或 $or(|)、$异或 $xor($^ $)$
  $\Large\LaTeX$打不了 ^ 啊…qwq

FWT思想

• 首先因为是位运算，所以需要按位分解。又因为是卷积的形式，联想到 $FFT$中利用了一种分治优化降低时间复杂度，所以我们首先把多项式拓展到 $2$的次幂长度，方便按位分治
• $FWT$的思想就是利用一种向量变换来简化运算，首先我们定义向量 $V$(此处可理解为数组)的正变换为 $V$的正变换为 $FWT[V]$，逆变换为 $FWT^{-1}[V]$
  • 先拿 $and(\&)$的情况举例，根据位运算常识有
    $(i\&k)~\&~(j\&k)=(i\&j)~\&~k$
  • 所以令 $FWT[V]_i=\sum_{(j\&i)=i}V_j$
    则有 $FWT[C]_i=FWT[A]_i*FWT[B]_i$
  • 那么我们只需要求出 $FWT[A],FWT[B]$，就能得到 $FWT[C]$，然后通过逆变换求出 $C$

变换与逆变换具体实现

• 像FFT一样，分治求 $FWT[V]$。拿 $and$运算举例
• 将一个长度为 $len$区间二分，那么左边和右边分别是最高位为 $0/1$的数，此时递归处理左右两边。相当于先不考虑最高位，递归处理左右两边长度为 $len/2$的答案
• 要想将两个区间合并，由于是 $and$运算，两个数的与运算只会变小，那么只会是右边的区间对左边造成贡献
• 记左边处理出来的答案为 $X_i$，右边处理出来的答案为 $Y_i$,合并后的答案为 $Ans_i$， $X$与 $Y$的实际含义为 $\Large \left\{ \begin{aligned} X_i=&\sum_{i\&j=i,j在左边}V_j\\ Y_i=&\sum_{i\&j=i,j在右边}V_j\\ \end{aligned} \right.$
• 显然有 $\Large \left\{ \begin{aligned} &Ans_i=X_i+Y_i\\ &Ans_{i+len/2}=Y_i\\ \end{aligned} \right.$
• 求逆变换 $FWT[V]^{-1}$时有 $\Large \left\{ \begin{aligned} &X_i=Ans_i-Ans_{i+len/2}\\ &Y_i=Ans_{i+len/2}\\ \end{aligned} \right.$
• 于是我们就解决了与运算的问题，或运算可类比

异或卷积

• 异或 $(xor)$与其他两个有点不一样(毕竟 $\Large\LaTeX$写不出来)，需要多想一想
• 异或卷积基于以下原理

  • 定义 $i$和 $j$之间的奇偶性为 $(i\&j)$中为1的位数的奇偶性，若为偶数则奇偶性是0，若为奇数则奇偶性是1。记作 $d(i,j)$

  • 令 $\large FWT[V]_i=\sum_{d(i,j)=0}V_j-\sum_{d(i,j)=1}V_j$
    就有了 $\large FWT[C]_i=FWT[A]_i*FWT[B]_i$

    • 证明为 $d(i,k)~xor~d(j,k)=d(i~xor~j,k)$
      • 将 $(i\&k),(j\&k)$同时减去它们的相与的值 $(i\&k)\&(j\&k)$,它们的相对奇偶性(可以理解吧)不变，减去后 $(i\&k),(j\&k)$在二进制下没有同时为 $1$的位，所以异或可以直接相加
      • 所以当 $d(i,k)=d(j,k)$,同时减去后奇偶性还是相等，那么 $(i~xor~j)\&k$的奇偶性=两个相等的奇偶性加起来=0= $d(i,k)~xor~d(j,k)$
      • 所以当 $d(i,k)!=d(j,k)$,同时减去后奇偶性还是不等，那么 $(i~xor~j)\&k$的奇偶性=两个不等的奇偶性加起来=1= $d(i,k)~xor~d(j,k)$
    • 证毕(看懵逼的写两个二进制数来看看，很好理解的)

  • 看看怎么分治，此处 $X$与 $Y$的实际含义为 $\Large \left\{ \begin{aligned} X_i=&\sum_{d(i,j)=0,j在左边}V_j-\sum_{d(i,j)=1,j在左边}V_j\\ Y_i=&\sum_{d(i,j)=0,j在右边}V_j-\sum_{d(i,j)=1,j在右边}V_j\\ \end{aligned} \right.$

  • 有 $\Large \left\{ \begin{aligned} &Ans_i=X_i+Y_i.................(1)\\ &Ans_{i+len/2}=X_i-Y_i.........(2)\\ \end{aligned} \right.$

  • 怎么想呢，分类讨论吧。由于：

    • $(1)$对于左边区间的 $i$，根据 $X,Y$的定义，显然满足
    • $(2)$而对于右边区间的 $i$
      • 当 $j$在左边区间， $j~and~i$的值一定和 $j~and~(i-len/2)$的值相等。所以加上 $X_i$
      • 当 $j$在右边区间， $j~and~i$的值一定和 $j~and~(i-len/2)$的值相反。所以减去 $Y_i$

  • 逆变换可自行推导(或看下方代码)

Luogu板题链接：P4717 【模板】快速沃尔什变换

写法跟FFT，NTT一模一样，还要更简(hao)单(bei)

AC code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1<<17;
const int mod = 998244353;
const int inv2 = 499122177;
int n, a[MAXN], b[MAXN];
int a1[MAXN], a2[MAXN];

inline void FWT_or(int arr[], const int& len, const int& flg)
{
	register int x, y;
	for(register int i = 2; i <= len; i<<=1)
		for(register int j = 0; j < len; j += i)
			for(register int k = j; k < j + i/2; ++k)
			{
				x = arr[k], y = arr[k + i/2];
				if(~flg) arr[k + i/2] = (x + y) % mod;
				else arr[k + i/2] = (y - x + mod) % mod;
			}
}

inline void FWT_and(int arr[], const int& len, const int& flg)
{
	register int x, y;
	for(register int i = 2; i <= len; i<<=1)
		for(register int j = 0; j < len; j += i)
			for(register int k = j; k < j + i/2; ++k)
			{
				x = arr[k], y = arr[k + i/2];
				if(~flg) arr[k] = (x + y) % mod;
				else arr[k] = (x - y + mod) % mod;
			}
}

inline void FWT_xor(int arr[], const int& len, const int& flg)
{
	register int x, y;
	for(register int i = 2; i <= len; i<<=1)
		for(register int j = 0; j < len; j += i)
			for(register int k = j; k < j + i/2; ++k)
			{
				x = arr[k], y = arr[k + i/2];
				if(~flg) arr[k] = (x + y) % mod, arr[k + i/2] = (x - y + mod) % mod;
				else arr[k] = (LL)(x + y) * inv2 % mod, arr[k + i/2] = (LL)(x - y + mod) * inv2 % mod;
			}
}

inline void solve_or(const int& len)
{
	memcpy(a1, a, sizeof a);
	memcpy(a2, b, sizeof b);
	FWT_or(a1, len, 1);
	FWT_or(a2, len, 1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		a2[i] = (LL)a1[i] * a2[i] % mod;
	FWT_or(a2, len, -1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		printf("%d%c", a2[i], i == len-1 ? '\n' : ' ');
}

inline void solve_and(const int& len)
{
	memcpy(a1, a, sizeof a);
	memcpy(a2, b, sizeof b);
	FWT_and(a1, len, 1);
	FWT_and(a2, len, 1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		a2[i] = (LL)a1[i] * a2[i] % mod;
	FWT_and(a2, len, -1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		printf("%d%c", a2[i], i == len-1 ? '\n' : ' ');
}

inline void solve_xor(const int& len)
{
	memcpy(a1, a, sizeof a);
	memcpy(a2, b, sizeof b);
	FWT_xor(a1, len, 1);
	FWT_xor(a2, len, 1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		a2[i] = (LL)a1[i] * a2[i] % mod;
	FWT_xor(a2, len, -1);
	for(int i = 0; i < len; ++i)
		printf("%d%c", a2[i], i == len-1 ? '\n' : ' ');
}

int main ()
{
	scanf("%d", &n); n = 1<<n;
	for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
	solve_or(n);
	solve_and(n);
	solve_xor(n);
}