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前天晚上，一位研三的学长突然跑到我们宿舍，问我们一道微软笔试题。给你一个整数n，求出1到n这个区间范围内包含数字0的个数，例如当n=10的时候就只有10包含0，输出1，n=90就输出9。唯一的要求是此题不能用遍历来实现，时间负责度要比O(n)小，要是遍历显然谁都会做。
初看此题，似乎能找到规律，应该是排列组合的思想，下面是我认识的一个学数学的同学提供的思路：
用数学方法看起来应该能够解决，不过并没有尝试。在问了一个ACM大牛后，得到了一个名词“数位DP”，并且发现其实有很多与此类似的题目，都可以用数位DP的方法求解。
下面先给出数位DP的背景：
•在给定区间[A,B]内，找满足要求的数。
•要求一般和数大小无关，而与数的组成有关
•例如，递增的，1234, 2579…
• 双峰的，19280,26193…
• 含49的，49, 149, 1492…
• 整除13的，26, 39…
•麻烦在于，规模大，位数> 100，不能枚举。
•区间往往不是整百整千，边界问题
•
•注意
–记忆化搜索思路清晰
–开适当空间
–寻找合适的状态，简化计算量
为了降低时间复杂度，可以借鉴传统DP中状态转换，打表这些思路，得到了数位DP：
F(A,B) = F(B,0)-F(A-1,0)
暴力+存储 = 记忆化搜索
•暴力：
•暴力枚举每一位(0..9),注意区间边界;与符号的匹配。
•dfs(i,j,k,flag)
•枚举第i位的数，匹配str[j],前一位是k，是否达到上限(flag=true,false)
•达到了上限则只能枚举0..num[i]，否则可以枚举0..9
•存储
•dfs(i,j,k,flag)
•设状态与递归参数一致f[i][j][k][flag]，表示当枚举到第i位的数，匹配str[j],前一位是k，是否达到上限(flag=true,false)时，满足要求的数字个数。
•dfs的过程，相当于在填充f，假设f的空间O(100*10*10*2)，则dfs的时间O(20000)
针对上面几种类型的问题，数位DP解决方案如下：（具体可以看http://www.cppblog.com/Yuan/archive/2011/07/15/139299.html）
•整除13
•dfs(i, m, flag)
•枚举第i位数，前面枚举出的数模13的余数m，是否到达上限flag
•
•整除自身各位数CF55D
•dfs(i, m, l, flag)
•枚举第i位数，前面枚举出的数模LCM(0..9)，LCM(前面枚举出的数)，是否达到上限
•
•包含”49”
•dfs(i, k, find, flag)
•枚举第i位数，前一位是k，是否已包含”49”(find)，是否达到上限
•分类讨论：前一位是否为4，当前是否已包含“49”
在这几种类型中，包含49的与微软这道题最为相近，不过要注意的是运算过程中需要把前缀0的情况剔除，最终代码如下：
#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int L = 20, P = 1e9+7;struct RES { ll all, sum, cnt; RES() {} RES(int i,int j,int k):all(i),sum(j),cnt(k) {}} dp[L];ll chkmod(ll x,ll p) { return (x%p+p)%p;}int d[L], n;RES dfs(int pos, int UP) { if(pos<0) { return RES(0,0,1); } if(!UP && ~dp[pos].all) { return dp[pos]; } RES ret(0,0,0); int up=UP?d[pos]:9; ret.all += dfs(pos-1, UP&&up==0).all; ret.all %= P; for(int i=1;i<=up;i++) { int nUP = UP&&i==up; for(int j=pos-1;j>=-1;j--) { ll tmp = dfs(j, nUP).sum + dfs(j, nUP).cnt * (pos - 1 - j); tmp %= P; ret.all += tmp; ret.all %= P; ret.sum += tmp; ret.sum %= P; ret.cnt += dfs(j, nUP).cnt; ret.cnt %= P; nUP = nUP && d[j]==0; // !!! } } if(!UP) { dp[pos] = ret; } return ret;}ll cal(ll x) { n=0; while(x) { d[n++]=x%10; x/=10; } return dfs(n-1,1).all;}int main(){ mem(dp,-1); ll n; while(cin>>n) { cout<<cal(n)<<endl; } return 0;}给我老师的人工智能教程打call！http://blog.csdn.net/jiangjunshow
