有唯一解线性方程组求法

对于一般的，有唯一解的线性方程组，我们可以转换成矩阵的形式：
$Ax=b$ 则可以用矩阵运算求解x，即x=A\b

有无穷解的线性方程组求法

齐次线性方程组的通解

求解齐次线性方程组基础解系的函数是null
Z=null(A)表示返回矩阵A的基础解系组成的矩阵。Z还满足Z^TZ=I
Z=null(A,‘r’)得出的Z不满足Z^TZ=I，但得出的矩阵元素多为整数，顾一般都带参数r。

非齐次线性方程组通解

非齐次线性方程组在求出基础解析后还要求一个特解。对于矩阵形式的非齐次线性方程组 $Ax=b$ 特解 $x_0$ 的求法为x0=pinv(A)*b；其中函数pinv的意思是伪逆矩阵。

例如求解线性方程组：

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3=1\\ x_2-2x_3-2x_4=2\\ x_1+3x_2-2x_4=3\\ \end{aligned} \right.$
在这里插入图片描述
由输出结果可知方程的解为
$x=k_1 \begin{bmatrix} -6\\2\\1\\0\\ \end{bmatrix} +k_2 \begin{bmatrix} -4\\2\\0\\1\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 13/77\\46/77\\-1/11\\-40/77\\ \end{bmatrix} \quad (k_1,k_2 ∈R)$

利用Gauss消元法求解线性方程组

在线性代数中，我们主要的方法就是Gauss消元法。MATLAB中将矩阵化为行阶梯型的函数是： $R=rref(A)$
我们可以用线性代数知识，编写一个函数，给入矩阵A和b，给出方程的解，函数自动判断是有唯一解还是无穷解。

先搭建出函数的框架

function varargout = ZJX_solvebygauss(varargin)
%ZJX_solvebygauss 用高斯消元法解线性方程组
%   A是系数矩阵，b是常熟矩阵。varargin={A,b};如果b为0，则不输入b
%   varargout=[S flag],S给出结果
%   flag为0无解；1唯一解；2齐次通解；3非齐次通解
A=cell2mat(varargin(1));
Alie=length(A);Asum=numel(A);Ahang=Asum/Alie;
if(nargin==2)
    b=cell2mat(varargin(2));
else
    b(Ahang,1)=0;
end
B=A; B(:,Alie+1)=b; 


varargout(1)={S};
if(nargout==2)
    varargout(2)={flag};
end
end

现在完成了基本框架的构建，其中varargout等含义参见函数部分的内容。现在我们已经得到了矩阵A、b，A的行数Ahang，A的列数Alie，增广矩阵B。现在在中间的空格位置进行运算。

程序设计

Ar=rank(A); Br=rank(B);
B=rref(B);
if (Ar<Br)
    flag=0; S=0;
elseif (Ar==Br && Ar==Alie)
    flag=1; S=B(:,Alie+1);
else
    %将能构成单位矩阵的列号存储在行向量I中,即存储了极大线性无关向量的编号
    %将剩余列号存入行向量C中
    for i=1:Ar
        for j=1:Alie
            if(B(i,j)==1)
                I(i)=j;
                break
            end
        end
    end
    C=setdiff(1:Alie,I);
    %由线性代数知识可得基础解系
    ILim=length(I); CLim=length(C);
    S(Alie,CLim)=0;%初始化S，S行数为A列数，S列数为C的维度
    for i=1:CLim
        S(C(i),i)=-1;
        for j=1:ILim
            S(I(j),i)=B(j,C(i));
        end
    end
    if(nargin==1)
        flag=2;
    else
        flag=3;
        S(Alie,CLim+1)=0;
        for i=1:Ar
            S(I(i),CLim+1)=B(i,Alie+1);
        end
    end
end

测试

同样求之前的方程组通解
$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3=1\\ x_2-2x_3-2x_4=2\\ x_1+3x_2-2x_4=3\\ \end{aligned} \right.$
在这里插入图片描述
如图，带方程b则S最后一列是特解，不带b则没有特解。日后我们可以直接调用这个函数方便求解。而且比较结果我们发现，这样求出来的特解形式要简单一些。

MATLAB线性方程组求解