6016：微信群（2018江苏冬令营1）（组合数1e9）

6016: 微信群

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题目描述

众所周知，一个有着6个人的宿舍可以有7个微信群（^_^，别问我我也不知道为什么），然而事实上这个数字可以更大，因为每3个或者是更多的人都可以组建一个群，所以6个人最多可以组建42个不同的群。
现在，已知一间宿舍有N个人，并且每至少K个人都可以组建一个微信群，那么他们最多可以组建多少个不同的微信群？

输入

一行两个整数N和K，表示宿舍中的人数和最少能够组建微信群的人数

输出

一行一个整数，即最多能组建多少个不同的微信群，由于这个数字很大，请输出对10^9+7求余后的结果

样例输入

6 3

样例输出

42

提示

对于30%的数据，3<=N<=10^3
对于60%的数据，3<=N<=10^6
对于100%的数据，3<=N<=10^9，3<=K<=10^5

来源

2018江苏冬令营1 

const LL MOD=1e9+7;    LL k,n;
LL poww(LL x, LL n){///快速幂
    LL res = 1;
    while(n){
        if(n & 1)	 res =res*x%MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}int main(){
    while(scanf("%lld%lld",&n,&k)!=EOF){
        LL ans=1, tmp=n, sum=poww(2,n);///  组合数总和！！！
        for(int i=2;i<=k;i++){
            ans=(ans+tmp)%MOD;
            tmp=((tmp*(n-i+1))%MOD*poww(i,MOD-2))%MOD;
        }    ///线性， 分子*n-i+1,分母*i
        ans=(sum-ans+MOD)%MOD;///减法运算取模
        printf("%lld\n",ans);
    }///算K到N(1e9) 的组合数会超时，因此利用n的组合数总和减去从0到k-1的组合数之和(较短段)，得到后半段k到n组合数之和(较长段)
}
///组合数模板
LL p[100005],f[100005];///p为阶乘数组，f为阶乘的逆元
void init(){///预处理
    p[0]=1;
    for (int i=1;i<=100000;++i)///计算阶乘
        p[i]=p[i-1]*i%MOD;
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=100000;++i)///计算逆元
        f[i]=poww(p[i],MOD-2);
    return ;
}
LL comb(int n,int m){///计算组合数
    return (f[m]*f[n-m])%MOD*p[n]%MOD;
} 		
///分子----> n! 	///分母----> m!*(n-m)!  计算逆元后相乘得到C(n,m)的组合数
//LL comb(LL n, LL m){///另一种组合数求法，在数塔中斜向求组合数
//    if(m > n) return 0;
//    LL ret = 1;
//    m = min(n - m, m);
//    for(int i = 1; i <= m; i ++){
//        LL a = (n + i - m) % MOD;
//        LL b = i % MOD;
//        ret = ret * (a * mod_pow(b, MOD - 2) % MOD) % MOD;
//    }
//    sum=(sum%MOD+ret%MOD)%MOD;
//}
//LL Lucas(LL n, LL m){
//    if(m == 0) return 1;
//    return comb(n % MOD, m % MOD) * Lucas(n / MOD, m / MOD) % MOD;
//}