[洛谷P4774] [NOI2018]屠龙勇士

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题解: 因为杀死一条龙的条件是在攻击\(x\)次,龙恢复\(y\)次血量\((y\in N^{*})\)后龙的血量恰好为\(0\).那么根据题意我们可以列出方程:
\[atk_i*x\equiv hp_i(mod \ p_i)\]
这个形式是不是很像中国剩余定理的形式:\(x\equiv b_i(mod \ a_i)\).

事实上我们可以直接将这个方程看做一个同余方程,即\[atk_i*x+p_i*y = hp_i\]

那么这个式子就代表着攻击了\(x\)次,恢复了\(-y\)次血量,因为解出来的\(x\)和\(y\)一定是一正一负的.这样求解的话,我们就需要考虑\(y\)的定义域了.但是事实上不用每次都用最小合法解,只需要每次找到一个解,最后求出整个方程组的解的时候将解构造成合法的形式.因为每次攻击龙都会解出来一个解\(x_i\),最后求出来的解只要保证\(ans>=max\{x_i\}\)就一定是合法的了.

这样的话,合并上面这个式子就只剩下中国剩余定理的部分了.设\(lcm=lcm\{p_i\},i\in[1,k-1]\),\(x_0\)为前\(k-1\)个同余方程的解,那么\(x_0+t*lcm\)也一定是前\(k-1\)个方程的解,为了满足第\(k\)个式子,那么我们需要找到一个\(t\)使得\[(x_0+t*lcm)*atk_i\equiv hp_i(mod \ p_i)\]

\[lcm*atk_i*t+p_i*y = hp_i-atk_i*x_0\]
设\(a=lcm*atk_i,b=p_i,c=hp_i-atk_i*x_0,x=t\),则有\(a*x+b*y=c\),也就是同余方程的标准形式.

我们应该如何判断无解呢?对于这样的不定方程,有解的条件为\(gcd(a,b)|c\),在做\(exgcd\)的时候判断一下就可以了.

那么每求出\(t\)的一个解,就可以得到前\(k\)个同余方程的解\(x_0+t*lcm\),做完之后再更新一下\(lcm=lcm(lcm, p_i)\)就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef int _int;
#define int long long

int T, n, m, hp[N], p[N], rew[N], cnt = 0, root, r1, r2, r3, ans = 0, mx;

struct treap{
    int ch[2], val, rd, size;
    treap(){ ch[0] = ch[1] = val = rd = size = 0; }
}t[N*2];

int newnode(int val){
    t[++cnt].val = val, t[cnt].rd = rand(), t[cnt].size = 1;
    return cnt;
}

void up(int x){ t[x].size = t[t[x].ch[0]].size+t[t[x].ch[1]].size+1; }

void split(int x, int val, int &a, int &b){
    if(!x){ a = b = 0; return; }
    if(t[x].val <= val) a = x, split(t[x].ch[1], val, t[x].ch[1], b);
    else b = x, split(t[x].ch[0], val, a, t[x].ch[0]); up(x);
}

int merge(int x, int y){
    if(!x || !y) return x+y;
    if(t[x].rd < t[y].rd){
        t[x].ch[1] = merge(t[x].ch[1], y);
        up(x); return x;
    } else {
        t[y].ch[0] = merge(x, t[y].ch[0]);
        up(y); return y;
    }
}

void insert(int val){
    split(root, val, r1, r2);
    root = merge(r1, merge(newnode(val), r2));
}

void delet(int val){
    split(root, val-1, r1, r2), split(r2, val, r2, r3);
    r2 = merge(t[r2].ch[0], t[r2].ch[1]);
    root = merge(r1, merge(r2, r3));
}

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(!b){ x = 1, y = 0; return a; }
    int gcd = exgcd(b, a%b, x, y), tmp;
    tmp = y, y = x-a/b*y, x = tmp;
    return gcd;
}

int getv(int val){
    int res = 0, node; split(root, val, r1, r2);
    if(!t[r1].size){
        node = r2;
        while(t[node].ch[0]) node = t[node].ch[0];
    } else {
        node = r1;
        while(t[node].ch[1]) node = t[node].ch[1];
    }
    root = merge(r1, r2); return t[node].val;
}

int mul(int a, int b, int mod){
    int res = 0;
    for(; b; b >>= 1, (a += a) %= mod)
        if(b & 1) (res += a) %= mod;
    return res;
}

void work(){
    int x, y, v, M = 1, C, gcd; cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> hp[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> rew[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> x, insert(x);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        v = getv(hp[i]), mx = max(mx, hp[i]/v+(hp[i]%v != 0));
        C = (hp[i]-(mul(ans, v, p[i]))%p[i]+p[i])%p[i];
        gcd = exgcd(M*v, p[i], x, y);
        if(C % gcd != 0){ cout << -1 << endl; return; }
        x = mul(x, C/gcd, p[i]), ans += x*M;
        M *= p[i]/gcd, ans = (ans%M+M)%M;
        delet(v), insert(rew[i]);
    }
    cerr << "mx=" << mx << endl;
    if(ans < mx) ans += M*((mx-ans-1)/M+1);
    cout << ans << endl;
}

void clear(){
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        t[i].ch[0] = t[i].ch[1] = t[i].rd = t[i].size = t[i].val = 0;
    ans = cnt = root = 0, mx = -inf;
}

_int main(){
    freopen("dragon1.in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    srand(time(NULL));
    cin >> T;
    while(T--) work(), clear();
    return 0;
}