Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）
回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 个已标记的样本构成：
，其中输入特征
。（我们对符号的约定如下：特征向量
的维度为
，其中
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记
。假设函数(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：
在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 可以取
个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集
，我们有
。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有
个不同的类别。
对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值
。也就是说，我们想估计
的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个
维的向量（向量元素的和为1）来表示这
个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数
形式如下：
其中 是模型的参数。请注意
这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将
用一个
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将
按行罗列起来得到的，如下所示：
代价函数
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， 是示性函数，其取值规则为：
值为真的表达式
， 值为假的表达式
。举例来说，表达式
的值为1 ，
的值为 0。我们的代价函数为：
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：
可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将
分类为类别
的概率为：
.
对于 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
让我们来回顾一下符号 "" 的含义。
本身是一个向量，它的第
个元素
是
对
的第
个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新:
(
）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax回归模型参数化的特点
Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 中减去了向量
，这时，每一个
都变成了
(
)。此时假设函数变成了以下的式子：
换句话说，从 中减去
完全不影响假设函数的预测结果。这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数
。
进一步而言，如果参数 是代价函数
的极小值点，那么
同样也是它的极小值点，其中
可以为任意向量。因此使
最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于
仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）
注意，当 时，我们总是可以将
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量
（或者其他
中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的
个参数
（其中
），我们可以令
，只优化剩余的
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
权重衰减
我们通过添加一个权重衰减项 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：
有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为
是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 的导数，如下：
通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
Softmax回归与Logistic 回归的关系
当类别数 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当
时，softmax 回归的假设函数为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量
，得到:
因此，用 来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为
，另一个类别概率的为
，这与 logistic回归是一致的。
Softmax 回归 vs. k 个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢。
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢。 (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢。
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
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