ACM-高精度模板(综合篇)
在这里，我们约定，能用int表示的数据视为单精度，否则为高精度。所有函数的设计均采用带返回值的形式。
本文包含
1.高精度加法
2.高精度减法
3.高精度乘法
1）高精度乘高精度的朴素算法
2）高精度乘高精度FFT优化算法
3）高精度乘单精度
4.高精度除法
1）高精度除高精度
2）高精度除单精度
5.高精度取模
1）高精度对高精度取模
2）高精度对单精度取模
6.高精度阶乘
7.高精度幂
8.高精度GCD
9.高精度进制转换
10.高精度求平方根
下面切入正题
1.高精度加法
传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型
算法思想：倒置相加再还原。
算法复杂度：o(n)
1 string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加 2 { 3 const int L=1e5; 4 string ans; 5 int na[L]={0},nb[L]={0}; 6 int la=a.size(),lb=b.size(); 7 for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; 8 for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; 9 int lmax=la>lb?la:lb; 10 for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; 11 if(na[lmax]) lmax++; 12 for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; 13 return ans; 14 }
2.高精度减法
传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型
算法思想：倒置相减再还原。
算法复杂度：o(n)
1 string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数 2 { 3 const int L=1e5; 4 string ans; 5 int na[L]={0},nb[L]={0}; 6 int la=a.size(),lb=b.size(); 7 for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; 8 for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; 9 int lmax=la>lb?la:lb; 10 for(int i=0;i<lmax;i++) 11 { 12 na[i]-=nb[i]; 13 if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--; 14 } 15 while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++; 16 for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; 17 return ans; 18 }
3.高精度乘法
1）高精度乘高精度的朴素算法
传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型
算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。
算法复杂度：o(n^2)
1 string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数 2 { 3 const int L=1e5; 4 string s; 5 int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 6 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 7 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 8 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; 9 for(int i=1;i<=La;i++) 10 for(int j=1;j<=Lb;j++) 11 nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） 12 for(int i=1;i<=La+Lb;i++) 13 nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 14 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 15 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) 16 s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 17 return s; 18 }
2）高精度乘高精度FFT优化算法
传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型
算法思想：将两个高精度乘数每个数位上的数视为多项式对应的系数，用o(n*log(n))的复杂度转成点值形式，再利用o(n)的复杂度相乘，最后对点值进行差值，用o(n*log(n))的复杂度还原成多项式的形式，即原来的形式。
算法复杂度：o(n*log(n))
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 #include <cmath> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include <set> 9 #include <vector> 10 using namespace std; 11 #define L(x) (1 << (x)) 12 const double PI = acos(-1.0); 13 const int Maxn = 133015; 14 double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; 15 char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; 16 int sum[Maxn]; 17 int x1[Maxn],x2[Maxn]; 18 int revv(int x, int bits) 19 { 20 int ret = 0; 21 for (int i = 0; i < bits; i++) 22 { 23 ret <<= 1; 24 ret |= x & 1; 25 x >>= 1; 26 } 27 return ret; 28 } 29 void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) 30 { 31 int bits = 0; 32 while (1 << bits < n) ++bits; 33 for (int i = 0; i < n; i++) 34 { 35 int j = revv(i, bits); 36 if (i < j) 37 swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); 38 } 39 for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) 40 { 41 int half = len >> 1; 42 double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); 43 if (rev) wmy = -wmy; 44 for (int i = 0; i < n; i += len) 45 { 46 double wx = 1, wy = 0; 47 for (int j = 0; j < half; j++) 48 { 49 double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; 50 double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; 51 double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; 52 a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; 53 a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; 54 double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; 55 wx = wnx, wy = wny; 56 } 57 } 58 } 59 if (rev) 60 { 61 for (int i = 0; i < n; i++) 62 a[i] /= n, b[i] /= n; 63 } 64 } 65 int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) 66 { 67 int len = max(na, nb), ln; 68 for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); 69 len=L(++ln); 70 for (int i = 0; i < len ; ++i) 71 { 72 if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; 73 else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; 74 } 75 fft(ax, ay, len, 0); 76 for (int i = 0; i < len; ++i) 77 { 78 if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; 79 else bx[i] = b[i], by[i] = 0; 80 } 81 fft(bx, by, len, 0); 82 for (int i = 0; i < len; ++i) 83 { 84 double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; 85 double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; 86 ax[i] = cx, ay[i] = cy; 87 } 88 fft(ax, ay, len, 1); 89 for (int i = 0; i < len; ++i) 90 ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); 91 return len; 92 } 93 string mul(string sa,string sb) 94 { 95 int l1,l2,l; 96 int i; 97 string ans; 98 memset(sum, 0, sizeof(sum)); 99 l1 = sa.size(); 100 l2 = sb.size(); 101 for(i = 0; i < l1; i++) 102 x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0'; 103 for(i = 0; i < l2; i++) 104 x2[i] = sb[l2-i-1]-'0'; 105 l = solve(x1, l1, x2, l2, sum); 106 for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位 107 { 108 sum[i + 1] += sum[i] / 10; 109 sum[i] %= 10; 110 } 111 l = i; 112 while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位 113 for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出 114 return ans; 115 } 116 int main() 117 { 118 cin.sync_with_stdio(false); 119 string a,b; 120 while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl; 121 return 0; 122 }
3）高精度乘单精度
传入参数约定：传入第一个参数为string类型，，第二个参数为int型，返回值为string类型
算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。
算法复杂度：o(n)
1 string mul(string a,int b)//高精度a乘单精度b 2 { 3 const int L=100005; 4 int na[L]; 5 string ans; 6 int La=a.size(); 7 fill(na,na+L,0); 8 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0'; 9 int w=0; 10 for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10; 11 while(w) na[La++]=w%10,w/=10; 12 La--; 13 while(La>=0) ans+=na[La--]+'0'; 14 return ans; 15 }
4.高精度除法
1）高精度除高精度
传入参数约定：传入第一第二个参数均为string类型，第三个为int型，返回值为string类型
算法思想：倒置，试商，高精度减法。
算法复杂度：o(n^2)
1 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) 2 { 3 if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 4 if(La==Lb) 5 { 6 for(int i=La-1;i>=0;i--) 7 if(a[i]>b[i]) break; 8 else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 9 10 } 11 for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 12 { 13 a[i]-=b[i]; 14 if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; 15 } 16 for(int i=La-1;i>=0;i--) 17 if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 18 return 0;//返回差的位数 19 20 } 21 string div(string n1,string n2,int nn) 22 //n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 23 { 24 const int L=1e5; 25 string s,v;//s存商,v存余数 26 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La; 27 //a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 28 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 29 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; 30 for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; 31 if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { 32 //cout<<0<<endl; 33 return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 34 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 35 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 36 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; 37 else b[i]=0; 38 Lb=La; 39 for(int j=0;j<=t;j++) 40 { 41 int temp; 42 while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 43 { 44 La=temp; 45 r[t-j]++; 46 } 47 } 48 for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 49 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 50 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; 51 //cout<<s<<endl; 52 i=tp; 53 while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> 54 while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; 55 if(v.empty()) v="0"; 56 //cout<<v<<endl; 57 if(nn==1) return s;//返回商 58 if(nn==2) return v;//返回余数 59 }
2）高精度除单精度
传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型
算法思想：模拟手工除法。
算法复杂度：o(n)
1 string div(string a,int b)//高精度a除以单精度b 2 { 3 string r,ans; 4 int d=0; 5 if(a=="0") return a;//特判 6 for(int i=0;i<a.size();i++) 7 { 8 r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商 9 d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数 10 } 11 int p=0; 12 for(int i=0;i<r.size();i++) 13 if(r[i]!='0') {p=i;break;} 14 return r.substr(p); 15 }
5.高精度取模
1）高精度对高精度取模(以在高精度除高精度中实现，此处不再赘述)
2）高精度对单精度取模
传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型
算法思想：利用(a+b)%c=a%c+b%c。
算法复杂度：o(n)
1 int mod(string a,int b)//高精度a除以单精度b 2 { 3 int d=0; 4 for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数 5 return d; 6 }
6.高精度阶乘
传入参数约定：传入参数为int型，返回值为string类型
算法思想：高精度乘单精度的简单运用。
算法复杂度：o(n^2)
1 string fac(int n) 2 { 3 const int L=100005; 4 int a[L]; 5 string ans; 6 if(n==0) return "1"; 7 fill(a,a+L,0); 8 int s=0,m=n; 9 while(m) a[++s]=m%10,m/=10; 10 for(int i=n-1;i>=2;i--) 11 { 12 int w=0; 13 for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10; 14 while(w) a[++s]=w%10,w/=10; 15 } 16 while(!a[s]) s--; 17 while(s>=1) ans+=a[s--]+'0'; 18 return ans; 19 }
7.高精度幂
传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型
算法思想：FFT高精乘+二分求幂。
算法复杂度：o(n*log(n)*log(m))
1 #define L(x) (1 << (x)) 2 const double PI = acos(-1.0); 3 const int Maxn = 133015; 4 double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; 5 char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; 6 int sum[Maxn]; 7 int x1[Maxn],x2[Maxn]; 8 int revv(int x, int bits) 9 { 10 int ret = 0; 11 for (int i = 0; i < bits; i++) 12 { 13 ret <<= 1; 14 ret |= x & 1; 15 x >>= 1; 16 } 17 return ret; 18 } 19 void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) 20 { 21 int bits = 0; 22 while (1 << bits < n) ++bits; 23 for (int i = 0; i < n; i++) 24 { 25 int j = revv(i, bits); 26 if (i < j) 27 swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); 28 } 29 for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) 30 { 31 int half = len >> 1; 32 double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); 33 if (rev) wmy = -wmy; 34 for (int i = 0; i < n; i += len) 35 { 36 double wx = 1, wy = 0; 37 for (int j = 0; j < half; j++) 38 { 39 double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; 40 double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; 41 double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; 42 a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; 43 a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; 44 double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; 45 wx = wnx, wy = wny; 46 } 47 } 48 } 49 if (rev) 50 { 51 for (int i = 0; i < n; i++) 52 a[i] /= n, b[i] /= n; 53 } 54 } 55 int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) 56 { 57 int len = max(na, nb), ln; 58 for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); 59 len=L(++ln); 60 for (int i = 0; i < len ; ++i) 61 { 62 if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; 63 else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; 64 } 65 fft(ax, ay, len, 0); 66 for (int i = 0; i < len; ++i) 67 { 68 if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; 69 else bx[i] = b[i], by[i] = 0; 70 } 71 fft(bx, by, len, 0); 72 for (int i = 0; i < len; ++i) 73 { 74 double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; 75 double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; 76 ax[i] = cx, ay[i] = cy; 77 } 78 fft(ax, ay, len, 1); 79 for (int i = 0; i < len; ++i) 80 ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); 81 return len; 82 } 83 string mul(string sa,string sb) 84 { 85 int l1,l2,l; 86 int i; 87 string ans; 88 memset(sum, 0, sizeof(sum)); 89 l1 = sa.size(); 90 l2 = sb.size(); 91 for(i = 0; i < l1; i++) 92 x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0'; 93 for(i = 0; i < l2; i++) 94 x2[i] = sb[l2-i-1]-'0'; 95 l = solve(x1, l1, x2, l2, sum); 96 for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位 97 { 98 sum[i + 1] += sum[i] / 10; 99 sum[i] %= 10; 100 } 101 l = i; 102 while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位 103 for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出 104 return ans; 105 } 106 string Pow(string a,int n) 107 { 108 if(n==1) return a; 109 if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a); 110 string ans=Pow(a,n/2); 111 return mul(ans,ans); 112 }
8.高精度GCD
传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型
算法思想：高精度加减乘除的运用。
算法复杂度：已无法估计。
1 string add(string a,string b) 2 { 3 const int L=1e5; 4 string ans; 5 int na[L]={0},nb[L]={0}; 6 int la=a.size(),lb=b.size(); 7 for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; 8 for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; 9 int lmax=la>lb?la:lb; 10 for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; 11 if(na[lmax]) lmax++; 12 for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; 13 return ans; 14 } 15 string mul(string a,string b) 16 { 17 const int L=1e5; 18 string s; 19 int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 20 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 21 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 22 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; 23 for(int i=1;i<=La;i++) 24 for(int j=1;j<=Lb;j++) 25 nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） 26 for(int i=1;i<=La+Lb;i++) 27 nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 28 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 29 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) 30 s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 31 return s; 32 } 33 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) 34 { 35 if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 36 if(La==Lb) 37 { 38 for(int i=La-1;i>=0;i--) 39 if(a[i]>b[i]) break; 40 else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 41 42 } 43 for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 44 { 45 a[i]-=b[i]; 46 if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; 47 } 48 for(int i=La-1;i>=0;i--) 49 if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 50 return 0;//返回差的位数 51 52 } 53 string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 54 { 55 const int L=1e5; 56 string s,v;//s存商,v存余数 57 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 58 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 59 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; 60 for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; 61 if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { 62 //cout<<0<<endl; 63 return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 64 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 65 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 66 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; 67 else b[i]=0; 68 Lb=La; 69 for(int j=0;j<=t;j++) 70 { 71 int temp; 72 while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 73 { 74 La=temp; 75 r[t-j]++; 76 } 77 } 78 for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 79 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 80 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; 81 //cout<<s<<endl; 82 i=tp; 83 while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> 84 while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; 85 if(v.empty()) v="0"; 86 //cout<<v<<endl; 87 if(nn==1) return s; 88 if(nn==2) return v; 89 } 90 bool judge(string s)//判断s是否为全0串 91 { 92 for(int i=0;i<s.size();i++) 93 if(s[i]!='0') return false; 94 return true; 95 } 96 string gcd(string a,string b)//求最大公约数 97 { 98 string t; 99 while(!judge(b))//如果余数不为0，继续除 100 { 101 t=a;//保存被除数的值 102 a=b;//用除数替换被除数 103 b=div(t,b,2);//用余数替换除数 104 } 105 return a; 106 }
9.高精度进制转换
传入参数约定：传入第一个参数为string类型，第二第三均为int型，返回值为string类型
算法思想：模拟手工进制转换。
算法复杂度：o(n^2)。
1 //将字符串表示的10进制大整数转换为m进制的大整数 2 //并返回m进制大整数的字符串 3 bool judge(string s)//判断串是否为全零串 4 { 5 for(int i=0;i<s.size();i++) 6 if(s[i]!='0') return 1; 7 return 0; 8 } 9 string solve(string s,int n,int m)//n进制转m进制只限0-9进制，若涉及带字母的进制，稍作修改即可 10 { 11 string r,ans; 12 int d=0; 13 if(!judge(s)) return "0";//特判 14 while(judge(s))//被除数不为0则继续 15 { 16 for(int i=0;i<s.size();i++) 17 { 18 r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商 19 d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余数 20 } 21 s=r;//把商赋给下一次的被除数 22 r="";//把商清空 23 ans+=d+'0';//加上进制转换后数字 24 d=0;//清空余数 25 } 26 reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下 27 return ans; 28 }
10.高精度求平方根
思路就是二分+高精度加减乘除法
设数的长度为n，则需二分log(2,10^n)次即n*log(2,10) 约等于n*3.3，由于数的长度为n，朴素高精度乘法复杂度为o(n^2)。故朴素算法求解高精度平方根复杂度为O(n^3)
当然，你也可以用FFT优化下高精度乘法。
下面的代码实现了求大整数平方根的整数部分。
1 const int L=2015; 2 string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加 3 { 4 string ans; 5 int na[L]={0},nb[L]={0}; 6 int la=a.size(),lb=b.size(); 7 for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; 8 for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; 9 int lmax=la>lb?la:lb; 10 for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; 11 if(na[lmax]) lmax++; 12 for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; 13 return ans; 14 } 15 string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数 16 { 17 string ans; 18 int na[L]={0},nb[L]={0}; 19 int la=a.size(),lb=b.size(); 20 for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; 21 for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; 22 int lmax=la>lb?la:lb; 23 for(int i=0;i<lmax;i++) 24 { 25 na[i]-=nb[i]; 26 if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--; 27 } 28 while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++; 29 for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; 30 return ans; 31 } 32 string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数 33 { 34 string s; 35 int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 36 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 37 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 38 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; 39 for(int i=1;i<=La;i++) 40 for(int j=1;j<=Lb;j++) 41 nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） 42 for(int i=1;i<=La+Lb;i++) 43 nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 44 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 45 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) 46 s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 47 return s; 48 } 49 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) 50 { 51 if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 52 if(La==Lb) 53 { 54 for(int i=La-1;i>=0;i--) 55 if(a[i]>b[i]) break; 56 else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 57 58 } 59 for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 60 { 61 a[i]-=b[i]; 62 if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; 63 } 64 for(int i=La-1;i>=0;i--) 65 if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 66 return 0;//返回差的位数 67 68 } 69 string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 70 { 71 string s,v;//s存商,v存余数 72 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 73 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 74 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; 75 for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; 76 if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { 77 //cout<<0<<endl; 78 return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 79 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 80 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 81 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; 82 else b[i]=0; 83 Lb=La; 84 for(int j=0;j<=t;j++) 85 { 86 int temp; 87 while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 88 { 89 La=temp; 90 r[t-j]++; 91 } 92 } 93 for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 94 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 95 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; 96 //cout<<s<<endl; 97 i=tp; 98 while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> 99 while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; 100 if(v.empty()) v="0"; 101 //cout<<v<<endl; 102 if(nn==1) return s; 103 if(nn==2) return v; 104 } 105 bool cmp(string a,string b) 106 { 107 if(a.size()<b.size()) return 1;//a小于等于b返回真 108 if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1; 109 return 0; 110 } 111 string DeletePreZero(string s) 112 { 113 int i; 114 for(i=0;i<s.size();i++) 115 if(s[i]!='0') break; 116 return s.substr(i); 117 } 118 119 string BigInterSqrt(string n) 120 { 121 n=DeletePreZero(n); 122 string l="1",r=n,mid,ans; 123 while(cmp(l,r)) 124 { 125 mid=div(add(l,r),"2",1); 126 if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1"); 127 else r=sub(mid,"1"); 128 } 129 return ans; 130 }