大学物理复习——量子力学基础

量子力学基础

早期量子论

黑体辐射，普朗克量子假设

热辐射、黑体辐射

热辐射：所有物体在任何温度下都向外辐射电磁波，但在不同温度下发出的各种电磁波的能量按照波长的分布随温度而不同的电磁辐射
平衡热辐射：物体具有稳定温度时，发射的电磁辐射能量等于吸收的电磁辐射能量
单色辐射本领（单色辐出度）：单位时间内，从物体表面单位面积上发射的波长在 $\lambda$附近单位波长间隔内的辐射能
辐射出射度（辐出度）：单位时间内，从物体表面单位面积发射的各种波长的总辐射量 $M(T)=\int_0^\infty M_\lambda (T)d\lambda$
黑体：能全部吸收各种入射电磁波的物体

斯忒藩——玻尔兹曼定律

$\begin{cases}M(T)=\int_0^\infty M_\lambda (T)d\lambda\\M(T)=\sigma T^4\end{cases}$
其中， $\sigma =5.67\times 10^{-8}W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}$

维恩位移公式

$\lambda_mT=b$其中b为维恩常数 $2.898\times10^{-3}m\cdot K$

普朗克量子假说

-3
普朗克公式 $M_\lambda(T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}\frac{1}{e^{\frac{he}{\lambda kT}-1}}$
其中 $h$为普朗克常数，其值为 $6.63\times 10^{-34}$
普朗克量子假说：

1. 组成黑体腔壁的分子、原子可看作带电的线性谐振子，可以吸收和辐射电磁波
2. 谐振子只能处于某些特别的能量状态，每一状态都是最小能量 $\varepsilon$ 的整数倍
   其中能量子 $\varepsilon=hv$

光电效应、光的波粒二象性

爱因斯坦的光量子理论

爱因斯坦光电效应方程：金属的自由电子吸收一个光子能量 $hv$之后，一部分用于电子从金属表面溢出所需的逸出功A一部分转化为光电子的动能 $hv=\frac{1}{2}mv^2+A$

光的波粒二象性

光子的能量 $E=hv,E=mc^2$
光子的动量 $p=\frac{E}{c}=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$

康普顿效益

康普顿效应：短波射线通过物质散射时，发现散射的波长发生变化的现象

康普顿效应的具体表现与解释：

1. 散射X射线的波长中有除了原波长以外一个波长大于原波长的峰值（解释：与物质的外层电子发生了碰撞，失去了部分动量）
2. 折射后的变小波长与原波长的差值与散射角 $\psi$有关(解释：碰撞的能量交换与碰撞的角度有关)
3. 不同的散射物质在同一散射角下改变的长度几乎相同（解释：碰撞能量的交换与碰撞的角度有关）
4. 较大的波长的散射光强度随着散射物质原子序列的增加而减小（解释：随着原子序列的增大，内层电子数量减少，而与内层电子发生碰撞并不会影响波长）

据研究，得到下面几则公式：
碰撞后电子的质量
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
两个波长的差值
$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{2h}{m_0c}sin^2\frac{\psi}{2}$
电子的波长
$\lambda_c=\frac{h}{m_0c}$

玻尔的氢原子理论

巴耳末公式

氢原子从n=3、4、5、6……能级跃迁到m=2能级时发出的光子光谱线的波长为：
$\lambda=B\frac{n^2}{n^2-4}$
其中 $B=3645.7A^0$，也可以改写为
$\sigma=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})$
其中n为氢原子电子的能级， $R=\frac{4}{B}=1.096\times 10^7$

玻尔的氢原子理论

三个基本假设：

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1. 定态假设
   原子系统存在一些列不连续的能量状态，处于这些状态的原子只能在一定的轨道上绕核做圆周运动，但不辐射能量，这些状态称为稳定状态，简称定态。其对应的能量是不连续的
2. 频率假设
   原子从一较大的能量 $E_n$的定态向另一较低能量 $E_k$定态跃迁是，辐射一个光子，而吸收一个光子也会使其从一低定态到一高定态只要满足条件 $hv=E_n-E_k$
3. 轨道角动量量子化假设
   $L=mv_nr_n=n\frac{h}{2\pi}$
   其中n为量子数

据上述假设可以推出 $E_n=-\frac{1}{n^2}(\frac{me^4}{4\pi\varepsilon_0r_n})$
其中 $E_1=-13.58eV$

德布罗意波、实物粒子的波粒二象性

德布罗意波：任何运动的例子皆伴随一个波，粒子的运动和波的传播不能互相分离。
$E=hv，p=mv=\frac{h}{\lambda}$自由例子速度小时，有 $E=\frac{p^2}{2m},\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE}}$

测不准关系

测不准关系：微观粒子的空间位置由概率波来描述，只能给出粒子在各处出现的概率，任意时刻不同时具有确定的位置和动量

海森堡测不准关系式

$\begin{cases}\Delta p_x\Delta x\geq h'/2\\\Delta p_y \Delta y\geq h'/2\\\Delta p_z\Delta z\geq h'/2\end{cases}$

薛定谔方程

薛定谔方程：描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系式称为薛定谔方程
$-\frac{h^2}{2m}\nabla^2\Psi+U\Psi=ih\frac{\partial\Psi}{\partial t}$
其中 $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$为波函数 $U=U(x,y,z,t)$为势能函数, $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

一维自由粒子的薛定谔方程

由于粒子为不受外力的自由粒子，所以 $U(x,t)=0$
$-\frac{h^2}{2m}\cdot \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=ih\frac{\partial \Psi}{\partial t}$
其中，波函数为 $\Psi(x,t)=\Psi_0e^{-\frac{i}{h}(Et-px)}$

波函数的物理意义

波函数模的平方表征了t时刻，在空间(x,y,z)附近单位体积内粒子出现的概率，称为概率密度

物质波与经典波的本质区别

1. 物质波波函数是复数，不可测量，本身无具体的物理意义，其模的平方才可测量且有具体意义
2. 物质波是概率波，有意义的是相对取值

定态问题

当体系处于某波函数描写的状态时的能量为确定之，则这种状态称为定态此时有薛定谔方程 $-\frac{\frac{h}{2\pi}^2}{2m}\nabla^2\Psi+U\Psi=E\Psi$

波函数的物理意义

波函数的平方表征了t时刻在 $(x,y,z)$附近单位体积内粒子出现的概率 $\omega=|\varPhi|^2$
据空间内概率的总和为1，进一步得到 $\int \int \int _v |\varPhi|^2dxdydz =1$

定态薛定谔方程

$-\frac{h'^2}{2m}\nabla^2\Phi+U\Phi=E\Phi$
按照德布罗意关系 $E=h'\omega$
在一维势场中 $\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\frac{2m}{h'}(E-U)\Phi(x)=0$

薛定谔方程的简单应用

一维无限深势阱

金属中的自由电子看作在一维无限深势阱中运动
势能函数为
$u(x)=\begin{cases}0&(0<x<a)\\\infty&(x<=0,x>=a)\end{cases}$
解得：
$\Phi(x)=Csinkx+Dcoskx$
其中 $ka=n\pi,D=0,c=\sqrt\frac{2}{a}$

氢原子的量子理论

据电子的势能为 $U(r)=\frac{-e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$
与定态薛定谔方程 $-\frac{h'}{2m}\nabla^2 \Phi+U\Phi=E\Phi$
得到定态薛定谔方程 $\nabla^2\Phi+\frac{2m}{h'}(E+\frac{-e^2}{4\pi\varepsilon_0r})\Phi=0$
解此方程可以得到：

1. 氢原子的能量量子化 $E=-\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\frac{1}{n^2}$
2. 角动量量子化 $L=\sqrt{n(n+1)}h'$

多电子原子中电子的分布

斯特恩—盖拉赫实验

原子的磁矩在外场中取向是量子化的
据 $dA=\frac{1}{2}r^2d\varphi$
$L=mr^2\omega=mr^2\frac{d\varphi}{dt}$
得到 $A=\frac{L}{2m}T$
由于 $I=\frac{e}{T}$
所以 $\mu=IA=\frac{e}{T}\cdot\frac{L}{2m}T=\frac{eL}{2m}$