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树状数组的问题模型
首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，现在有一个这样的问题：有一个数组a，下标从0到n-1，现在给你w次修改，q次查询，修改的话是修改数组中某一个元素的值；查询的话是查询数组中任意一个区间的和，w + q < 500000。
这个问题很常见，首先分析下朴素做法的时间复杂度，修改是O(1)O(1)的时间复杂度，而查询的话是O(n)O(n)的复杂度，总体时间复杂度为O(qn)O(qn)；可能你会想到前缀和来优化这个查询，我们也来分析下，查询的话是O(1)O(1)的复杂度，而修改的时候修改一个点，那么在之后的所有前缀和都要更新，所以修改的时间复杂度是O(n)O(n)，总体时间复杂度还是O(qn)O(qn)。
可以发现，两种做法中，要么查询是O(1)O(1)，修改是O(n)O(n)；要么修改是O(1)O(1)，查询是O(n)O(n)。那么就有没有一种做法可以综合一下这两种朴素做法，然后整体时间复杂度可以降一个数量级呢？有的，对，就是树状数组。
[树状数组的模板]:
int n ;
int c[MAX] ; // 树状数组
int a[MAX] ; // 原数组
int lowbit(int x ) { return x&(-x);}
int update(int i,int v){ // 单点更新
while(i<=n){
c[i]+=v;
i+=lowbit(i);// 由叶子节点向上更新树状数组 , 从左到右
}
}
int sum(int i){
int ans = 0 ;
while(i>0){
ans+=c[i];// 从右到左累加求和
i-=lowbit(i) ;
}
return ans ;
}模板中最常见的三个函数：①取数组下标二进制非0最低位所表示的值；②单点更新；③区间查询。树状数组，顾名思义是树状的数组，我们首先引入二叉树，叶子节点代表A[1]~A[8]。
现在变形一下：
现在定义每一列的顶端节点C数组（其实C数组就是树状数组），如图：
C[i]代表子树的叶子节点的权值之和，如图可以知道：
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
将C数组的下标i转化成二进制：
1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
对照式子可以发现：C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];（k为i的二进制中从最低位到最高位连续零的个数）
例如：当i=8时，k=3，可以自行代入验证。现在引入lowbit(x)：其实就是取出x的二进制的最低位1，换言之，lowbit(x)= 2^k，k的含义与上面相同。
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
/*
-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
例如 : i=6（0110） 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
i&(-i)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/接下来是区间查询（求和）：利用C[i]数组，求A数组中前i项和：举两个栗子：
①i=7，前7项和：sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；可以得到：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。
数组下标写成二进制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；
②i=5，前5项和：sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；可以得到：sum[5]=C[4]+C[5]；
数组下标写成二进制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；
细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用，结合代码演示一下代码过程：
int sum(int i){
int ans = 0 ;
while(i>0){
ans+=c[i];// 从右到左累加求和
i-=lowbit(i) ;
}
return ans ;
}对于i=7进行演示：
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
对于i=5进行演示：
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
最后是单点更新：当我们修改A数组中某个值时，应当如何更新C数组呢？回想一下，区间查询的过程，再看一下上文中列出的过程。这里声明一下：单点更新实际上是不修改A数组的，而是修改树状数组C，向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。
int update(int i,int v){ // 单点更新
while(i<=n){
c[i]+=v;
i+=lowbit(i);// 由叶子节点向上更新树状数组 , 从左到右
}
}
如图：当在A[1]加上值val，即更新A[1]时，需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解，人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值，事实上A数组并不用修改，实际运用中也可不设置A数组，单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val；
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val；
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；
最后说一下树状数组的优缺点：①特点：代码短小，实现简单；容易扩展到高纬度的数据；
②缺点：只能用于求和，不能求最大/小值；不能动态插入；数据多时，空间压力大
模板题:
网址 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式：
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
输入输出样例
输入样例#1： 复制
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4输出样例#1： 复制
14
16说明
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于30%的数据：N<=8，M<=10
对于70%的数据：N<=10000，M<=10000
对于100%的数据：N<=500000，M<=500000
样例说明：
故输出结果14、16