[OI学习笔记]Tarjan求强联通分量

背景

　　今天下午我该死地点开了洛谷网校找虐。。。听tarjan全程懵逼。。。于是乎，我查遍的各种资料、博客、b站（我竟然在b站上学习）

　　顺便贴上我认为很有帮助我理解的一个视频：

强联通分量

　　什么是强联通分量？

　　百度百科:

　　有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

　　人话：把一张图的一部分抠出来，使这部分图的每一个节点都能互相通达，并且没有另一个这样的图完全包含它。（单个点也算）

　　比如说下面这张图：（在本篇博文中都以这张图作为样例）

　　根据定义，{1,2,3}，{4}，{5,6,7,8}都是强联通分量

　　而{5,7,8}不是强联通分量，因为还有比它更大的{5,6,7,8}包含它。

Tarjan算法　　

　　算法的过程实际上就是在图上做DFS。

　　我们把这个图画成树：

　　这里，我们要定每个点i的两个变量low[i]和dfn[i]：

　　dfn[i]：点i被dfs到的次序，有的人也称之为时间戳

　　low[i]：点i所能向后追溯到的最小的时间戳

　　我们发现：每一个强联通分量都有一个根节点，在这个强联通分量中，根节点的dfn最小

　　由此观之，当一个点的dfn==low时，这个点必是一个强联通分量的根节点，而他的子树中的一个点如果可以dfs到它，那这个点就是他的强联通的一部分！

----------------------------------------分割线--------------------------------------------

　　dfs过程：对于每一个点u：

　　1.初始化dfn[u]=low[u]，将u点入栈

　　2.遍历u的每一个到达的点v：

　　　　1.如点v未访问过，那么就对点v进行dfs，然后更新low[u]=min(low[u],low[v])

　　　　2.如果遍历到的这个点已经被遍历到了，并在栈里，那么直接更新low[u]=min(low[u],dfn[v])

　　那么，怎么记录一个强联通分量呢？

　　这时，就要用到一个栈来存储当前访问且还没有判定为属于任何一个强联通分量的点，如果一个点是根，就依次把这个点对应的元素后进栈的点依次标记并弹出即可

手算&图解

　　还是手算演示一下过程：(每个点上面的数是dfn,下面的数low)(这里换一张图，前面那张手算太毒瘤了。。。)

　　找到{5}{4}：

　　遍历到2

　　注意这里2的low改了：

　　最后回到点1发现dfn[1]==low[1],可以确定栈顶到元素1为一个强联通分量：

代码

　　这里给出代码，如果有错误请各位dalao指点：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MAX=233;
int m,n;
int first[MAX];

struct edge{//check
    int u,v,next;
}e[10086];

int cnt=0;
void insert(int u,int v){
    ++cnt;e[cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].next=first[u];first[u]=cnt;
}

int dfn[MAX]={0},low[MAX]={0},ins[MAX]={0};
stack<int> s;
int tot=0;
void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    s.push(u);
    ins[u]=1;
    for(int i=first[u];i!=-1;i=e[i].next){//ckeck
        int v=e[i].v;
        if(dfn[v]==0){//没搜过 
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(ins[v]){//已搜过&在队里 
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int fa=0,van[MAX];
        while(s.top()!=u){
            van[++fa]=s.top();
            ins[s.top()]=0;
            s.pop();
        }
        s.pop();
        ++fa;van[fa]=u;
        for(int i=1;i<=fa;i++){
            printf("%d ",van[i]);
        }
        printf("是一个scc\n");
    }
}

int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        insert(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dfn[i]==0){
            tarjan(i);
        }
    }
    return 0;
}

我太弱了。。。竟然研究了一个晚上。。。QwQ