本题实质上要求平面最近点对,推荐一篇博客
有一片农场,R购买了N个守卫,分别让他们站在一定的位置上(守卫不可移动,同一位置上至多有一个守卫).但是守卫们彼此十分厌恶.经研究,当某两个守卫距离≤K,他们就会发生争吵;而想要守卫们和解也不难,只需要R给出的平均工资能使两人满意,他们就会同意和解并成为朋友;当然,如果两个守卫有共同的朋友,他们也会和解成为朋友.R非常不想守卫们争吵,因此他想找出,在能使所有守卫闭嘴的前提下,平均工资的最小值是多少?
题意:平面上有N个点,某些点之间有无向边相连.求出最小的w,使得选择了所有权值≤w的边之后,D=min{dis(u, v)|u,v不连通}≥K.
分析:首先,我们可以将m对有厌恶关系的守卫,看作它们之间有一条权值为w的边,用并查集维护点与点之间的连通性.不难发现,答案具有可二分性,因为D(w)一定会是一个关于平均工资w的单增函数,于是我们可以对每条边按照w从小到大排序,然后二分w,再\(n^2\)暴力地求最近点对,判断合法性.
现在我们要考虑如何高效地求平面内最近点对,文顶已经推荐了一篇博客,我只简述方法了.
运用分治法,设work(V)为点集V中的最近点对的距离.那么,要求点集V的最近点对,我们先对其按x坐标从小到大排序,然后考虑选择一条垂直分割线,把V划分为点数尽可能相等的两部分V1和V2(说直白了就是选择点集V最中间两个点的中线).则work(V)=min{work(V1),solve(V2), dis(u,v)|u∈V1,v∈V2}
如何理解这个式子?关于点集V中的最近点对,无非只有三种情况,两个点都在V1中,两个点都在V2中,或者一个点在V1中,另一个点在V2中.前两种情况就是分治的子问题,那么第三种情况如何高效求解呢?
令d=min{work(V1),work(V2)},那么我们可以只需要考虑已经选择好的垂直分割线往两端各延伸d的这一个区域,因为只有这个区域内的点对才可能有比d更小的距离(这里不懂的话,画个图就明白了)
work(V){
选择一条垂直分割线,它将V分割为V1,V2;
d=min(work(V1),work(V2));
取出垂直分割线往两端延伸d的区域内的所有点;
求出区域内最近距离d’;
return min(d,d’);
}
到了这里,问题只剩最后一步,如何求出区域内最近距离d’,上面那一段文字只是优化了时间复杂度,仍未提到具体地如何做?对于区域内的点,我们对其按y坐标排序;对于每个点,找到y坐标与它相差不超过d的点,比较最近距离d’.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[100005];
double k;
struct point{//记录每个守卫信息的结构体
double x,y;int id;
}a[100005],b[100005];
struct edge{//记录每一对有关系守卫信息的结构体
int x,y;double w;
}e[200005];
bool cmp1(edge x,edge y){return x.w<y.w;}
bool cmp2(point x,point y){return x.x<y.x;}
bool cmp3(point x,point y){return x.y<y.y;}
int find(int x){
if(fa[x]==x)return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}//并查集的路径压缩找爸爸操作,没的说
double dis(point x,point y){
return max(fabs(x.x-y.x),fabs(x.y-y.y));
}//求两个点之间的(切比雪夫)距离的函数
double work(int l,int r){
if(l==r)return 1e18;
//分治边界:该区间左右边界重合,最近点对距离视为无穷大
int mid=(l+r)>>1,i=l,j=mid+1,k=i;
double midline=(a[mid].x+a[mid+1].x)/2;
//midline垂直分割线
double now=min(work(l,mid),work(mid+1,r));
double d=now;
//归并排序:按照y坐标排序
while(i<=mid&&j<=r){
if(cmp3(a[i],a[j]))b[k]=a[i],i++,k++;
else b[k]=a[j],j++,k++;
}
if(i<=mid)while(i<=mid)b[k]=a[i],i++,k++;
else while(j<=r)b[k]=a[j],j++,k++;
for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];
int L=1,R=0;
for(int i=l;i<=r;i++)
if(fabs(a[i].x-midline)<=d){
while(L<=R&&(a[i].y-b[L].y)>=d)
L++;
for(int j=L;j<=R;j++){
int x=find(a[i].id);
int y=find(b[j].id);
if(x!=y)
now=min(now,dis(a[i],b[j]));
}
b[++R]=a[i];
}
return now;
}
bool check(int mid){
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;//并查集
//因为我们的w二分到了第mid对点所要求的,
//所以第1-mid对点都能被满足要求,和解成为朋友
for(int i=1;i<=mid;i++){
int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
if(x!=y)fa[y]=x;
}
sort(a+1,a+n+1,cmp2);
//按照点的横坐标位置从小到大排序
return work(1,n)>k;
//函数work返回的是当前w下,最近的两个点间距
}
int main(){
scanf("%d%d%lf",&n,&m,&k);
//n个点,m对点之间有无向边相连,点之间最小距离要求是k
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
a[i].id=i;
}//读入每个点的横纵坐标
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%lf",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
//读入有边相连的一对点:编号x,y及边权w
sort(e+1,e+m+1,cmp1);
//按照边权从小到大排序,方便二分
int l=0,r=m,mid,ans;//注意l的初始值
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%.3lf\n",e[ans].w);
return 0;
}