6 动态规划

6.1 重新审视DAG的最短路径问题

有向无环图DAG的节点可以被线性化：

6.1 A dag and its linearization-topological ordering.

procedure dag-shortest-paths(G,l,s)
    Input:  Graph G=(V,E), dag;
            edge lengths {le:e ∈ E};
            vertex s ∈ V
    Output: For all vertices u reachable from s,dist(u) is set
            to the distance from s to u.

    for all u ∈ V
        dist(u)= ∞
    dist(s)=0
    Linearize G //通过深度优先搜索线性化(拓扑排序)
    for each u ∈ V in Linearized order:
        for all edges (u,v) ∈ E:
            dist(v)=min(dist(u)+l(u,v))

6.2 最长递增子序列

6.2 The dag of increasing subsequences

for j=1,2,...,n
    L(j)=1+max{L(i):(i,j) ∈ E}
return L
//i为j的前驱，求反转图Gr即可

6.3 编辑距离

将两个单词进行对齐，对齐代价为对应字母不相同的列数

6.3 two possible alignments of SNOWY and SUNNY

6.3.1 一种动态规划的解

寻找两个字串：$x[1...m],y[1...n]$之间的编辑距离$E(m,n)$，考虑字符串的前缀：$x[1...i],y[1...j]$的编辑距离$E(i,j)$。

则：
$$
E(i,j)=min{1+E(i-1,j),1+E(i,j-1),diff(i,j)+E(i-1,j-1)}
$$

for i=0,...,m:
    E(i,0)=i
for j=0,...,n:
    E(0,j)=j
for i=1,...,m:
    for j=1,...,n:
        E(i,j)=min{1+E(i-1,j),1+E(i,j-1),diff(i,j)+E(i-1,j-1)}
return E

6.3.2 隐含的dag

每个动态规划都隐含着一个dag结构：每个节点表示一个子问题，每条边表示解决子问题时的先后约束。 6.5 The underlying dag, and a path of length 6

除边${(i-1,j-1)→(i,j):x[i]=y[j]}$为0外，其余边为0；问题转为求点$s=(0,0)$到点$t=(m,n)$的最短距离。

其中，为使$EXPONENTIAL$转为$POLYNOMIAL$

向下表示删除
向右表示插入
向对角线表示匹配或替换

6.5 The underlying dag, and a path of length 6_2

6.4 背包问题

n件物品，W总重量的背包，复杂度$O(nW)$

6.4.1 多副本背包问题

Knapsack with repetition

$$
定义K(w)=容量w可以容纳的最高价值，则：\
K(w)=\max_{i:w_i\le w}{K(w-w_i)+v_i}
$$

K(0)=0
for w=1 to W
    K(w)=max{K(w-w_i)+v_i:w_i≤w}
return K(W)

6.4.2 单副本背包问题

Knapsack without repetition

$$
定义K(w,j)=基于容量w、1...j个物品可以容纳的最高价值，则：\
K(w)=\max{K(w-w_i,j-1)+v_i,K(w,j-1)}
$$

for j=1...n:
    K(0,j)=0
for w=1...W:
    K(w,0)=0
for j=1...n:
    for w=1...W:
        if w_j > w:
            K(w,j)=K(w,j-1)
        else:
            K(w,j)=max{K(w,j-1),K(w-w_j,j-1)+v_j}
return K(W,n)

6.5 矩阵链式相乘

$矩阵A[m_0,m_1]与A[m_1,m_2]相乘的复杂度为O(m_0m_1m_2)$
求n个矩阵相乘：$A_1A_2...*A_n$

$$
定义C(i,j)=计算A_iA_{i+1}...A_j的最小代价，则：\
C(i,j)=\min_{i \le k < j}{C(i,k)+C(k+1,j)+m_{i-1}m_k*m_j }
$$

for i=1...n:
    C(i,i)=0
for s=1...n-1:
    for i=1...n-s:
        j=i+s
        C(i,j)=min{C(i,k)+C(k+1,j)+m(i-1)*m(k)*m(j):i≤k<j}
return C(1,n)

6.6 最短路径问题

6.6.1 最短可靠路径

求s到t最多经过k条边的最短路径

$$
定义dist(v,i)=s到v经过i条边的最短路径\
dist(v,i)=\min_{(u,v) \in E}{dist(u,i-1)+l(u,v) }
$$

6.6.2 所有顶点间的最短路径

包含负边的s源点最短路径算法复杂度$O(|V||E|)$；对每一个顶点进行遍历，则复杂度为$O(|V|^2|E|)$
基于动态规划的Floyd-Warshall算法，复杂度为$O(|V|^3)$

$$
定义shortestPath(i,j,k)=使用{1,...,k}为中间节点时，i到j的最短路径\
\mathrm{shortestPath}(i,j,k+1) = \mathrm{min}\Big(\mathrm{shortestPath}(i,j,k),\mathrm{shortestPath}(i,k+1,k)+\mathrm{shortestPath}(k+1,j,k)\Big)
$$

let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
for each vertex v
   dist[v][v] ← 0
for each edge (u,v)
   dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
for k from 1 to |V|
   for i from 1 to |V|
      for j from 1 to |V|
         if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
            dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
         end if

6.6.3 旅行商问题TSP

对于包含城市1的子集$S \subset {1,2,...,n}$，以及$j \in S$，令$C(S,j)$为由1出发、终点为j的经过s所有节点恰好一次的最短路径长度。$O(n^2 2^n)$

$$
C(S,j)=\min_{i \in S:i \ne j}{C(S-{j})+d_{ij}}
$$

function algorithm TSP (G, n)
   for k := 2 to n do
     C({1, k}, k) := d(1,k)
   end for
 
   for s := 3 to n do
     for all S ⊆ {1, 2, . . . , n}, |S| = s do
       for all k ∈ S do
         {C(S, k) = min_{m≠1,m≠k,m∈S} [C(S − {k}, m) + d(m,k) ]}
       end for
     end for
   end for
 
   opt := min_{k≠1} [C({1, 2, 3, . . . , n}, k) + d(k,1)]
   return (opt)
 end

6.7 树中的独立集

选定树中任意节点r为树根，子问题：

$$
I(u)=u下子树的最大独立集规模\
I(u)=max{1+\sum_{w为u孩子的孩子}I(w),\sum_{w为u的孩子}I(w) }
$$

【算法概论】6.动态规划