2019-1-26-对联

Problem

给你n个数$a_{1...n}$，问你这n个数用加法组成的所有数中∈[1，p]的数的个数。

询问有m次。每次询问给定一个$p_i$

$ n <13,m<1e6,p_i<1e18,a_i<5e5$

solution

大家可以先去看一下这道题(本题的前一部分) 传送门

设Min为$a_i$中的最小值。

所以，我们对于任意数x，若x可以被表示，$x+a_i×k$均可以被表示。

所以我们要求出余数$x∈[0,Min)$被表示所需的最小值。

考虑最短路

对于$x∈[0,Min),连接x与x+a_i$,边权为$a_i$

然后就可以跑dijkstra。

对于每一个询问.
\[ ans_i = \sum _{j = 1}^{dis_j \leq p_i} \frac{p_i - dis_j}{Min} \]

然后就可以愉快的拿到50分了。

~~打成这样竟然只给50,这部分分给的~~

好了，现在要考虑询问之间的转移。

第一个想到前缀和优化。

但是，怎么优化呢？

给p数组和dis数组从小到大排个序。

然后将p表示成$s×Min+t$的形式，$dis_i$表示成$d×Min+c$的形式。

这样的话
\[ ans_i=\sum_{j = 1}^{dis_j \leq p_i} (a_i − b_j) − (c_i < d_j) \]
好啦，这样就可以用前缀和+树状数组优化了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define mp make_pair
#define fst first
#define snd second

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, const T &b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

inline int read(){
    int res = 0, fl = 1;
    char r = getchar();
    for (; !isdigit(r); r = getchar()) if(r == '-') fl = -1;
    for (; isdigit(r); r = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + r - 48;
    return res * fl;
}
typedef long long LL;
inline LL Lread(){
    LL res = 0, fl = 1;
    char r = getchar();
    for (; !isdigit(r); r = getchar()) if(r == '-') fl = -1;
    for (; isdigit(r); r = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + r - 48;
    return res * fl;
}
typedef pair<LL, int> pii;
const int Maxn = 5e5 + 10;
struct MAP{
    LL to, v;
};
LL mod;
LL a[Maxn], Min;
LL dis[Maxn];
bool vis[Maxn];
pii ASK[Maxn << 1];
LL ans[Maxn << 1];
vector<MAP> g[Maxn];
namespace BIT{
    LL tre[Maxn];
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;}
    inline void Add(int pos){for ( ++pos; pos <= mod; pos += lowbit(pos)) ++tre[pos];}
    inline LL Query(int pos){
        LL sum = 0; 
        for ( ++pos; pos >= 1; pos -= lowbit(pos)) sum += tre[pos]; 
        return sum;
    }
}
void dijstra(int s){
    priority_queue<pii> Q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    Q.push(mp(0,0));
    dis[s] = 0;
    while(!Q.empty()){
        int now = Q.top().snd;
        Q.pop();
        if(vis[now]) continue;
        vis[now] = 1;
        for (int i = g[now].size() - 1; i >= 0; --i){
            int nxt = g[now][i].to;
            if(vis[nxt]) continue;
            if(dis[nxt] > dis[now] + g[now][i].v){
                dis[nxt] = dis[now] + g[now][i].v;
                Q.push(mp(-dis[nxt],nxt));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("couplet.in", "r", stdin);
    freopen("couplet.out", "w", stdout);
    LL n = read(), m = read();
    Min = 1e9 + 10;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = read();
        chkmin(Min, a[i]);
    }
    mod = Min;
    for (int i = 0; i < Min; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j){
            int nxt = (i + a[j]) % mod;
            if(nxt == i) continue;
            g[i].push_back((MAP){nxt, a[j]});
        }
    dijstra(0);
    sort(dis + 1, dis + 1 + Min);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) ASK[i].fst = Lread(),ASK[i].snd = i;
    sort(ASK + 1, ASK + 1 + m);
    LL top = 0;
    LL sum = 0;
    BIT::Add(dis[0]);
    for (int i = 1; i <= m; ++i){
        LL p = ASK[i].fst;
        while(top < (Min - 1) && dis[top + 1] <= p){
            ++top;
            BIT :: Add(dis[top] % mod);
            sum += 1ll * dis[top] / Min;
        }
        ans[ASK[i].snd] = 1ll * (p / Min) * (top + 1) - sum;
        ans[ASK[i].snd] += 1ll * BIT :: Query(p % mod);
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) printf("%lld\n",ans[i] - 1);
    return 0;
}

Problem

solution

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