5.2 微分方程模型
5.2.1常见机电元件
| 能量分类 |
总方程 |
元件微分方程 |
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| 储能元件 |
机械: 牛顿定律 |
质量块或 定轴转动物体 |
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| 弹簧（弹性元件） |
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| 电气： 节点电流定律；回路电压定律 |
电容 |
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| 电感 |
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| 耗能元件 |
机械 |
阻尼器 |
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| 电气 |
电阻 |
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| m-质量；x/x(t)-位移/变形量；f(t)-外作用力；θ-转角；M(t)-外力矩；J-转动惯量；k-弹簧刚度系数；fx(t)-弹簧力；U-电压；R-电阻；C-电容；i(t)-充电电流；L-电感；B-阻尼系数； |
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5.2.2微分方程的建立
列写微分方程一般步骤：
- 确定系统的输入量和输出量；
- 根据系统所遵循的基本定律，依次列出各元件的微分方程；
- 消中间变量，得到只含有输入、输出量的标准形式，标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列；
- 在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应加以线性化。
eg.设有由电感L，电容C和电阻R组成的电路，如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。
（1）确定电路输入量/输出量
U1为输入量，U2为输出量
（2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程
（3）消去中间变量i，得到U2与U1的关系方程
5.2.3 非线性数学模型的线性化
线性化：将非线性微分方程，在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程；在控制工程中，系统运行围绕平衡点进行，则在有限的工作范围内，可用线性系统等效原来的非线性系统。用数学方法处理非线性函数y=f(x)，在其工作点(x0,y0)处展开成泰勒级数，然后忽略其二次以上的高阶项得到线性化方程。
定义：如果f(x)在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数
称为f(x)在点x0处的泰勒级数。