谁能笑到最后，约瑟夫环-Josephus问题求解

一简述Josephus问题

　　N个人站成一环，从1号开始，用刀将环中后面一个人“消灭“”掉，之后再将刀递给下一个人，这样依次处理，最后留下一个幸存者。

二求解方法

约瑟夫问题如果使用链表来求解比较麻烦，这里采用循环队列的处理。

约瑟夫问题可以等价为DeQueue()两次，然后再将第一次DeQueue()的值EnQueue()入队列尾。

循环队列代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 100

typedef struct _Queue *Queue; 
struct _Queue {
    int A[MAX];
    int Head, Tail;
    int Num_of_Items;
};

void EnQueue( Queue Q, int x )
{
    if ( Q->Num_of_Items < MAX ) {
        /*  Cycle Queue not full */
        if ( Q->Num_of_Items == 0 ) {
            Q->Head = Q->Tail = 0;
            Q->A[0] = x;
        } else {
            Q->Tail = (Q->Tail + 1) % MAX; /* Tail insert */
            Q->A[Q->Tail] = x;
        }
        Q->Num_of_Items++;
    } else {
        printf("Warning: Full Queue!\n");
        return;
    }
}

int DeQueue( Queue Q )
{
    if ( Q->Num_of_Items < 1 ) {
        /* empty queue */
        printf("Warning: Empty Queue!\n");
    } else {
        int ret = Q->A[Q->Head];
        Q->Num_of_Items--;
        Q->Head = (Q->Head + 1) % MAX;
        return ret;
    }
}

每次隔一个人就消灭掉一人，经过一圈，消灭一半，就等于累次除二。等价于二的幂相关问题。

对于Josephus( N )：

　　若N为二次幂(N = 2^M)，M为幂次。从开始一圈消除偶数，再消除奇数，每次跳过起始的1，最终留下1。

　　EX 1: J( 8 ): Green : start ， Red: delete

　　1 2 3 4 5 6 7 8 --> 1 2 3 4 5 6 7 8 --> 1 3 5 7

　　 --> 1 3 5 7 --> 1 5 --> 1 5 --> 1

　　若N为奇数，可化为(N = 2^M + K)，先 消除K个人，即经历过2K个人后。又为偶数问题，留下的[ Last=2K+1 ]。

　　EX 2: J( 10 ) : N = 10, M = 3, K = 2 --> J( 10 ) = 2*k + 1 = 5

公式： N = 2^M + K ， K= N - 2^M。 J( N ) = 2 *( N - 2^M ) + 1

求解代码：

/* 数学解法：N = 2^M + K | Last = 2 *( N - 2^M ) + 1  */
void Josephus()
{
    int i, n, m_prime, k;
    printf("Enter an integer:");
    scanf("%d", &n);    
    
    i = 1;
    while ( i < n ) {
        /* find the largest prime of 2 that less than n */
        i *= 2; 
    }
    m_prime = i / 2;
    k = n - m_prime;
    printf("The remain one is %d!\n", (2 * k + 1));
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    printf("Method 1: Math solving\n");
    Josephus();
     
    printf("\nMethod 2: Queue solving\n"); 
    _Queue Que;
    Queue Q = &Que; /* initial */
    //Queue Q = (Queue)malloc( sizeof(struct _Queue) );  
    Q->Num_of_Items = 0;    
    
    int i, j, n, answer;
    printf("Enter an integer (1--99):");
    scanf("%d", &n);
    
    /* Solve Josephus Problem */
    
    /* Step 1: Put all the number between 1 to n to the Queue */
    for ( i = 1; i <= n; i++ ) {
        EnQueue( Q, i);
    }
    /* Step 2: Start killing for n-1 rounds */
    for ( i = 1; i < n; i++ ) {
        j = DeQueue( Q ); /* first dequeue item */
        DeQueue( Q );
        EnQueue( Q, j );
    }
    answer = Q->A[Q->Head]; /* the last item */
    
    printf("The value of J(%d) is: %d\n", n, answer);
    return 0;
}

参考资料：

[1] 中国大学MOOC-数据结构-台湾清华大学-04BasicDataStructure

[2] 2的幂在约瑟夫环问题的应用https://www.cnblogs.com/sirlipeng/p/5387830.html#undefined

图片来自网络

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