Wannafly挑战赛9 - D 造一造 组合数学+卡特兰数

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题意：有 $n$ 个节点，按顺序入栈出栈，中间当第 $m$ 个数入栈之后，要求栈内有 $k$ 个元素，问一共这 $n$ 个节点全部入栈完，再全部出栈，有多少种入栈出栈的顺序。

思路：我们可以设入栈为 $0$，出栈为 $1$，则满足题意的 $01$ 串，前 $m$ 长度的 $01$ 串中， $1$ 比 $0$ 要少 $k$ 个，且每个前缀串的 $0$ 的数量要不少于 $1$ 的数量，由此转换成求卡特兰数。

卡特兰数：
满足递推式： $h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)$
通项为： $h(n)=\frac{C_{2n}^n}{(n+1)}$
拓展到一般情况：
比如一个 $01$ 串，要求有 $n$ 个 $1$ ， $m$ 个 $0$，且每个前缀子串的 $1$ 的个数要不小于 $0$ 的个数，则这样的串的数量即为卡特兰数。
$Catalan(n，m)=C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1}$(此情况为串中0代表元素相同，1代表元素相同)
$Catalan(n，m)=(C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1})*n!*m!$(此情况为串中0代表元素各不相同，1代表元素各不相同)

#include<iostream>
#include<climits>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int inv[2000005];
int mul[2000005];
int fac[2000005];
int c(int n, int m)
{
    m = min(m, n - m);
    if (m < 0)
        return 0;
    return (((((1LL * mul[n]) % mod) * fac[m]) % mod) * fac[n - m]) % mod;
}
int solve(int m, int n)
{
    return (c(m + n, n) - c(m + n, n - 1) + mod) % mod;
}
int main()
{
    int T;
    int n, m, k;
    mul[0] = inv[0] = mul[1] = inv[1] = fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 2000000; ++i)
    {
        mul[i] = 1LL * mul[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
        fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * inv[i] % mod;
    }
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin >> n >> m >> k;
        cout << 1LL * solve(m - 1, m - k) * solve(n - m + k, n - m) % mod << '\n';
    }
    return 0;
}