HDU - 2602 （01背包问题+详解+最强）

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

Input
The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.
Output
One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2 31).
Sample Input
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
Sample Output
14

个人分析:

如何理解代码呢？我们设dp[ i ][ j ]为前i件物品放在容量为j的背包里所能得到的最大价值，那么思考一下，每个物品都只有两种可能，放或不放，这就是为什么叫做01背包的原因。那么，我们将第i件物品放在容量为j的背包中，使dp[ i ][ j ]最大，那么对于第i件物品，也只有两种操作。于是，我们可以很容易想到，我们不放第i件物品时，是不是需要先知道dp[ i - 1 ][ j ]的值呢？这就形成了dp，形成了一种递推关系。另一种可能，假设我们放第i件物品，那么，首先需要考虑当前容量j是否放得下物品i，假设放得下，将j减去w[ i ]，即在剩余的体积放前i件所得到的最大的价值为dp[ i ][ j-w[ i ]，所以总价值为dp[ i ][ j - w [ i ] ] +v[ i ]。
动态规划的思想：

 for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=c;j++)
            {
                if(j>=w[i])
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }

个人感受：

关于01背包呢，我了解的是属于dp的，并且常考，但是思路清晰了，看这种类型题就像套公式一样的~ 代码后面附上了对01背包的理解，这是学校里一位厉害的学长总结的，我学习了他的代码~挺不错的！然后也学了一下二维数组转变一维数组
具体代码如下：

二维数组解法:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int manx=1000+8;
int v[manx],w[manx],dp[manx][manx];
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n,c;
        cin>>n>>c;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>v[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>w[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=c;j++)
            {
                if(j>=w[i])
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        cout<<dp[n][c]<<endl;
    }


    return 0;
}

二维降为一维:

解释：(这里我也参考了一下别人的博文，自己第一次接触，不太好解释)
如何理解二维降一维呢？对于外层循环中的每一个i值，其实都是不需要记录的，在第i次循环时，所有的dp[ 0…v ]都还未更新时，dp[ j ]还记录着前i-1个物品在容量为j时的最大价值，这样就相当于还记录着dp[ i - 1 ][ j ]和dp[ i - 1 ][ j - w[ i ] ]+v[ i ]。

为什么要从v开始递减遍历？我举个例子，假设一个物品GG价值1000，体积为2，那么假设我们按【0……v】这个顺序遍历，那么在j=2时，dp[2] = max(dp[2], dp[0]+1000)，那么dp[2] = 1000，当j=4时，dp[4]=max(dp[4], dp[2]+1000)， dp[4] = 2000，这时我们再思考一下，GG将被放进背包两次！！，如果我们逆序遍历，就可以避免这种结果。

此外，这里可以进行一个常数优化，将j>=w[i]写进for循环中。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int manx=1000+8;
int v[manx],w[manx],dp[manx];
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n,c;
        cin>>n>>c;

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>v[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>w[i];
        }
       memset(dp,0,sizeof(dp));
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           for(int j=c;j>=w[i];j--)
           {
               dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
           }
       }
        cout<<dp[c]<<endl;
    }


    return 0;
}

01背包问题
在这里插入图片描述

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学如逆水行舟，不进则退