[HNOI2018]排列

Description：

给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n, 0 \le a_i \le n\)，以及 \(n\) 个整数 \(w_1, w_2, \dots, w_n\)。称 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)的 一个排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \dots, a_{p[n]}\)为 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)的一个合法排列，当且仅当该排列满足：对于任意 的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(j \le k\)，那么 \(a_{p[j]}\)不等于 \(p[k]\)。（换句话说就是：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(p[k]\)等于 \(a_{ p[j] }\)，那么 $k<j $ 。）定义这个合法排列的权值为 ​\(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \dots + nw_{p[n]}\)。

Hint：

\(n \le 5*10^5\)

Solution:

估计很多人是因为看不懂题意才做不出来的。。。

。。。题面真的反人类

如果 \(p[k]\)等于 \(a_{ p[j] }\)，那么 $k<j $

换个说法：

如果 \(p[k]=a_{p[j]}\) 那么 \(k\) 一定 排在 \(j\) 前面　

即 \(y=a_x\) 且\(y\)一定比\(x\)先选

又\(a_x=a_x\)

考虑拓扑排序，连边 \(a_x->x\)

这样每个点入度为1

连边后一定是一颗以0为根的树

如果有环，则无法满足限制说明合法排列不存在

为什么？，因为\(a \in [1,n]\) ,而\(a_i \in [0,n]\)

必定有一条边是指向0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=5e5+5;
int n,cnt,tot,f[mxn],s[mxn],hd[mxn],vis[mxn],anc[mxn];
ll ans,w[mxn];

struct ed {
    int to,nxt;
}t[mxn<<1];

struct data {
    int id,sz;
    ll val;
    friend bool operator < (data a,data b) {
        return a.val*b.sz>b.val*a.sz;
    }
}tp;

priority_queue<data > q;

inline void add(int u,int v) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u]}; hd[u]=cnt;
}

int find(int x) {
    return anc[x]==x?x:anc[x]=find(anc[x]);
}

void dfs(int u,int fa) {
    vis[u]=1; ++tot;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa) continue ;
        if(vis[v]) {
            puts("-1");
            exit(0);
        }
        dfs(v,u);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n); s[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",&f[i]);
        add(f[i],i); anc[i]=i,s[i]=1;
    }
    dfs(0,-1); if(tot<n) {puts("-1"); return 0;}
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%lld",&w[i]);
        q.push((data){i,1,w[i]});
    }
    while(!q.empty()) {
        tp=q.top(); q.pop(); int u=find(tp.id);
        if(s[u]!=tp.sz) continue ; anc[u]=find(f[u]); 
        ans+=w[u]*s[anc[u]],s[anc[u]]+=s[u],w[anc[u]]+=w[u];
        if(anc[u]) q.push((data){anc[u],s[anc[u]],w[anc[u]]});
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}