拆分整数

搬运一下思路：记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。
证明: 证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:A(n) = n的所有划分组成的集合，B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:f(n) = A(n)中元素的个数，g(n) = B(n)中元素的个数，h(n) = C(n)中元素的个数，易知: f(n) = g(n) + h(n)。 以上记号的具体例子见文末。
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)：
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。综上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
这就证明了我们的递推公式。
#include
#define MAXSIZE 1000001
using namespace std; int main()
{
int n;
int result[MAXSIZE];
result[0] = result[1] = 1;
for(int i = 2; i<MAXSIZE; ++i){
if(i%2 == 0){
result[i] = (result[i-1] + result[i/2])%1000000000; }
else{
result[i] = result[i-1]%1000000000; }
}
while(scanf("%d",&n) != EOF)
cout<<result[n]<<endl; return 0;
}