P1025 数的划分（排列组合问题）

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DP

DFS

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题目描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1,1,5;
1,5,1;
5,1,1.

问有多少种不同的分法。

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输入格式：

n,k (6<n≤200，2≤k≤6)

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输出格式：

1个整数，即不同的分法。

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7 3

输出样例#1： 复制

4

说明

四种分法为：
1,1,5
1,2,4;
1,3,3;
2,2,3.

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DP

f[ i ][ x ] 表示 i 分成 x 个非空的数的方案数，

当 i < x 时，f[ i ][ x ]=0，当 i==x 时，f[ i ][ x ]=1

当 x 为1的时候，就是只用分一份的时候 f 的值就是1

关键是要知道如下情况：

• 有1的情况，就是确定了有一段的长度为1，此时方案数： 
• 此时就相当于有一个抽屉已经确定了并且那个抽屉里就是1，所以这个时候分法就等于把剩下的 i-1 个数分在剩下的 x-1段（抽屉苹果都被占了一个）的分法
• 第二种情况是，不含1，此时方案数：       此时i必须要大于x
• 没1的时候和挡板法的情况类似，因为没有一个抽屉是1，所以可以往每个抽屉里的都先放上一个1，总方法数就相当于把剩下的数（i-x）分到x个抽屉里，所以就得到了这样的状态转移方程。

状态转移方程:  

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代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,k;
int f[210][7];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)	f[i][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int x=2;x<=k;x++)//x从2开始 
		{
			if(i>x) f[i][x]=f[i-1][x-1]+f[i-x][x];
			else	f[i][x]=f[i-1][x-1]; 
		}
	cout<<f[n][k];
	return 0;
}

 

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DFS

就注意一个点：如果不剪枝，不单单是TLE的问题，连正确答案都出不来，会重复计算

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,k;
int sum;
void dfs(int step,int num,int rest)
{
	if(rest==1)//当只剩下一段待分了，可以认为已经分完 
	{	sum++;return;}
/*	同时循环最大只能进行到t/s，
避免出现因前面的数过大而导致后面的数无法取的情况。*/
	//for(int i=step;i<=num;i++)
//剪枝：不需要枚举到num，否则既有可能重复计算，又会加大运算
	for(int i=step;i<=num/rest;i++) //剪枝 i<=num/rest
		dfs(i,num-i,rest-1); 
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>k;
	dfs(1,n,k);
	cout<<sum<<endl;
	return 0; 
}