好玩的推式子
题目描述
曾经发明了脑洞治疗仪与超能粒子炮的发明家 SHTSC 又公开了他的新发明：超能粒子炮・改——一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。
超能粒子炮・改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有两个参数 \(n\)、\(k\)，它会向每个编号为 \(0\) 到 \(k\)（包含两端）的位置 \(i\) 发射威力为 \(\mathrm{C}_n^i \bmod 2333\) 的粒子流。
现在 SHTSC 给出了他的超能粒子炮・改的参数，让你求出其发射的粒子流的威力之和除以 \(2333\) 所得的余数。
输入格式：
第一行一个整数 \(t\) 表示数据组数。
之后 \(t\) 行，每行两个整数 \(n\)、\(k\)，含义如题面描述。输出格式：
\(t\) 行，每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模 \(2333\) 的值。
输入输出样例
输入样例：
3 5 5 10 7 1145 14输出样例：
32 968 763数据范围与约定
对于 \(10\%\) 的数据，\(t=1\)，\(n,k\le 1000\)；
对于 \(30\%\) 的数据，\(t=1\)，\(n,k\leq 1000000\)；
对于 \(50\%\) 的数据，\(t=1\)，\(n\le 10^{18},k\le 1000\)；
对于 \(70\%\) 的数据，\(t\le 100\)，\(n,k\le 10^{18}\)；
对于 \(100\%\) 的数据，\(t\le 100000\)，\(n,k\le 10^{18}\)。
题解：
注：本文中所有的除法 \(/\) 都向下取整，所有的百分号 \(\%\) 都表示取模。
这个题求的是 \(\sum_{i=0}^k\mathrm{C}_n^i\bmod 2333\)。但是模数是 \(2333\) 因此可以考虑 Lucas 定理，即 \(\mathrm{C}_n^m\% p=\mathrm{C}_{n\% p}^{m\% p}\mathrm{C}_{n/p}^{m/p}\)。
我们把上面的和式推导一下，则为
\[ \sum_{i=0}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333} \]
然后我们发现，整个过程中 \(n/2333\) 和 \(n\% 2333\) 是不变的。只需要关注 \(i/2333\) 和 \(i\%2333\) 的变化规律。
而对于连续的 \(i\in[2333k,2333k+2333)\) 它们的 \(i/2333\) 是相同的，\(i\%2333\in[0,2333)\)，所以我们把需要求和的 \(k\) 个数分成 \(\left\lceil\frac{k}{2333}\right\rceil\) 段。其中前 \(\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor\) 段一定是完整的，因此可以表示为
\[ \sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm{C}_{n/2333}^t\sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^i+\sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333} \]
对于加号后面的式子，\(i/2333=0\)，所以是对后面一个式子求和，因此可以用杨辉三角预处理，并求出前缀和，\(O(1)\) 解决。
对于中间一个式子 \(\sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^i\) ，因为 \(n\%2333<2333\) ，同理用杨辉三角。
令
\[ \sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^i=S,\\\ \sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333}=A \]
则原式为
\[ S\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm{C}_{n/2333}^t+A \]
对于剩下的一个式子，又转化为了一个求和的子问题，因此我们递归解决。递归的边界是 \(k<2333\)。
因此可以在 \(2333^2+O(t\log k)\) 的时间复杂度内解决这个问题。
Code：
#include<cstdio>
#define ll long long
ll C[2333][2333];
ll calc(ll n,ll t)//0~t的C_n^t
{
ll ans=0,p=n%2333;
if(t/2333)
ans=C[p][p]*calc(n/2333,t/2333-1)%2333;
else
return C[p][t%2333];
ll a=n/2333,b=t/2333,tmp=1;
while(a>=2333||b>=2333)
{
if(b%2333)
tmp=tmp*(C[a%2333][b%2333]-C[a%2333][b%2333-1]+2333)%2333;
a/=2333,b/=2333;
}
if(b)
tmp=tmp*(C[a][b]-C[a][b-1]+2333)%2333;
ans=(ans+C[p][t%2333]*tmp)%2333;
return ans;
}
int main()
{
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=2332;++i)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%2333;
}
for(int i=0;i<=2332;++i)
for(int j=1;j<=2332;++j)
C[i][j]=(C[i][j-1]+C[i][j])%2333;
int T;
ll n,k;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
printf("%lld\n",calc(n,k));
}
return 0;
}