【Nowcoder】暑期多校day6 Generation I （组合数学）

题目大意

有 n 个编号分别为 1~n 的集合（无重复元素），下面对这 n 个集合进行 n 次操作，第 i 次操作为：向编号为 i~n 的集合中分别插入一个 ai ∈ [1,m]。经过 n 次操作后，问这些集合有多少种终态？

解题思路

在编号从 1~n 的 n 个集合中，集合内元素的个数随集合编号的增加而不降：也就是说，当进行第 i 次操作时，要么加入了一个之前已经被加入过的“旧数”，这样第 i 个集合相对于上一个集合的元素个数就没有发生改变；要么加入了一个之前没有出现过的“新数”，这样相对于上一个集合元素个数就多一个。这样看来，各个集合的 siz 的序列就是一个不降序列。

当第 n 个集合的元素个数为 i 时，如果无视被插入的元素间的差异，那么共有 $C_{n-1}^{i-1}$ 种不同的终态。此时从 m 种元素中选出了 i 种，并可以随意排列，那么当第 n 个集合的元素个数为 i 时，实际上有 $C_{n-1}^{i-1}*C_{m}^{i-1}*i!$ 种终态。可知：

a n s = \sum_{i = 1}^{m i n (n, m)} C_{n - 1}^{i - 1} * C_{m}^{i - 1} * i! = \sum_{i = 1}^{m i n (n, m)} \frac{m!}{(m - i)!} * \frac{(n - 1)!}{(n - i)!} * i n v (i!)

$ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)}C_{n-1}^{i-1}*C_{m}^{i-1}*i!=\sum_{i=1}^{min(n,m)}\frac{m!}{(m-i)!}*\frac{(n-1)!}{(n-i)!}*inv(i!)$

稍做优化，时间复杂度为 O(min(n,m)）。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read() {
    register int val=0, sign=1; char ch;
    while(~(ch=getchar()) && (ch<'0' || ch>'9') && ch!='-'); ch=='-'?sign=-1:val=ch-'0';
    while(~(ch=getchar()) && (ch>='0' && ch<='9')) val=(val<<1)+(val<<3)+ch-'0';
    return val*sign;
}

const int maxn=int(1e6)+5, moder=998244353;
inline int mul(const int &a,const int &b) {return 1ll*a*b%moder;}
inline int add(const int &a,const int &b) {return (a+b<moder)?a+b:a+b-moder;}

long long n,m;
int fac[maxn], inv[maxn];

int fpow(int a,int k) {
    int res=1;
    for(;k;k>>=1,a=mul(a,a)) if(k&1) res=mul(res,a);
    return res;
}
void init() {
    register int i; fac[0]=1;
    for(i=1;i<maxn;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    for(i=0;i<maxn;++i) inv[i]=fpow(fac[i],moder-2);
    return;
}

void work() {
    cin>>n>>m;
    register int i;
    int ans=m%moder, tmp1=1, tmp2=m%moder;
    for(i=2;i<=min(n,m);++i) {
        tmp2=mul(tmp2,(m-i+1)%moder), tmp1=mul(tmp1,(n-i+1)%moder);
        ans=add(ans,mul(inv[i-1],mul(tmp1,tmp2)));
    }
    cout<<ans;
    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
    double t1=clock();
#endif
    int cas=read();
    init();
    for(int i=1;i<=cas;++i) {
        printf("Case #%d: ",i);
        work();
        putchar('\n');
    }

    printf("%.3lfsec\n",(clock()-t1)/CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}