[BZOJ]5306: [Haoi2018]染色 容斥+NTT

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Solution

设 $f_i$为至少有 $i$种颜色出现恰好 $s$次的方案数， $g_i$为恰好有 $i$种颜色出现恰好 $s$次的方案数，那么通过观察或者推导，可以得知容斥系数，那么有： $g_i=\sum_{j=i}^m(-1)^{j-i}C_j^if_j$把组合数拆开，移项： $g_i\times i!=\sum_{j=i}^m {(-1)^{j-i}\over(j-i)!}f_j\times j!$直接NTT即可。题目不算难，但是还是做了比较久，主要是对卷积形式不敏感，而且推错了式子。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxm=100005,Maxs=155,Maxn=10000010;
const int inf=2147483647;
const int mod=1004535809,gn=3;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,s,f[Maxm<<2],h[Maxm<<2],fac[Maxn],inv[Maxn],fin[Maxn],w[Maxm];
int Pow(int x,int y)
{
    if(y<0)return 0;
    if(!y)return 1;
    int t=Pow(x,y>>1),re=(LL)t*t%mod;
    if(y&1)re=(LL)re*x%mod;
    return re;
}
int rev[Maxm<<2];
void ntt(int *a,int n,int o)
{
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int wn;
        if(o==1)wn=Pow(gn,(mod-1)/(i<<1));
        else wn=Pow(gn,mod-1-(mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int t=(LL)a[i+j+k]*w%mod;w=(LL)w*wn%mod;
                a[i+j+k]=(a[j+k]-t+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(o==-1)
    {
        int inv=Pow(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
void pre()
{
    int u=max(s*m,n);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=u;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=u;i++)inv[i]=(LL)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    fin[0]=1;for(int i=1;i<=u;i++)fin[i]=(LL)fin[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    return(LL)fac[n]*fin[m]%mod*fin[n-m]%mod;
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),s=read();
    for(int i=0;i<=m;i++)w[i]=read();
    pre();
    int N=1;while(N<=((m+1)<<1))N<<=1;
    rev[0]=0;for(int i=1;i<N;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(N>>1)));
    for(int i=0;i<=m;i++)f[i]=(LL)C(n,i*s)*C(m,i)%mod*fac[i*s]%mod*Pow(fin[s],i)%mod*Pow(m-i,n-i*s)%mod;
    for(int i=0;i<=m;i++)f[i]=(LL)f[i]*fac[i]%mod;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    if(i&1)h[i]=mod-fin[i];
    else h[i]=fin[i];
    for(int i=0;i<=(m>>1);i++)swap(h[i],h[m-i]);
    ntt(h,N,1),ntt(f,N,1);
    for(int i=0;i<N;i++)h[i]=(LL)h[i]*f[i]%mod;
    ntt(h,N,-1);
    int ans=0;
    for(int i=m;i<=(m<<1);i++)
    {
        h[i]=(LL)h[i]*fin[i-m]%mod;
        ans=(ans+(LL)h[i]*w[i-m]%mod)%mod;
    }
    printf("%d",ans);
}