矩阵A^TA(A'A)和AA^T(AA')的性质

$\quad$对于任意一个矩阵 $A\in R^{m\times n}$，其转置与它自身的乘积 $A^TA$,以及它自身与其转置的乘积 $AA^T$有如下性质：

1. $rank(A^TA)=rank(A)=rank(A^T)=rank(AA^T)$
$\quad$证明：首先，显然有 $rank(A^TA)\leq rank(A)$;
$\quad$再由： $A^TAx=0\Rightarrow x^TA^TAx=0\Rightarrow Ax=0$可知， $A^TA$的右零空间一定包含于 $A$的右零空间. 即： $N(A^TA)\subset N(A),$ $\quad$于是必然有： $dim[N(A^TA)]\leq dim[N(A)],$即： $n-rank(A^TA)\leq n-rank(A)$,即得： $rank(A^TA)\geq rank(A)$.
$\quad$综上有 $rank(A^TA)=rank(A)$.在这式子中用 $A^T$代替 $A$就得到： $rank(AA^T)=rank(A^T)$.结合 $rank(A)=rank(A^T)$证毕.

2. $A^TA$和 $AA^T$均对称半正定.
$\quad$证明： $A^TA$显然对称，同时有： $\forall x\in R^n,x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)\geq0$.同理可证 $AA^T$对称半正定.

3.设rank(A)=r,那么 $AA^T$合同于 $\begin{bmatrix}I_r&O\\O& O\end{bmatrix}_{m\times m}$, $A^TA$合同于 $\begin{bmatrix}I_r&O\\O& O\end{bmatrix}_{n\times n}$.
$\quad$证明：由合同变换不改变秩，及上诉性质2可以得到.

4. $A^TA$和 $AA^T$具有相同的非零特征值.
$\quad$证明：参考我的另一篇博客：矩阵AB和BA的特征值关系

5. $A^TA$与 $A^T$具有相同的列空间， $AA^T$与 $A$具有相同的列空间。
$\quad$证明：显然 $A^TA$列空间 $\subset$ $A^T$列空间,但又有： $rank(A^TA)=rank(A)$,可知它们的列空间维数相同，因此它们的列空间必然相同;同理可证 $AA^T$与 $A$具有相同的列空间。