【校内训练2019-02-22】Permutation

【思路要点】

若 $m\ne k$ ，则令 $N=N-(k-m),k=m$ ，答案不变。

考虑 $m=k$ 的情况，对于一个集合对应的数组 $b$ ，若 $b_k\ne N$ ，那么接下来出现的集合即为保留 $b$ 数组的前 $k-1$ 项，将 $b_k$ 增加 $1$ ，这部分排列与其对应的接下来的排列对答案产生的贡献为 $\binom{N-1}{k}$ 。

否则，考虑枚举 $b$ 数组后缀由 $N$ 开始递降的长度 $i$ ，以及这段后缀之前一个被选中的位置 $j$ ，产生的贡献为 $\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=m-i}^{N-i-1}\binom{j-1}{m-i-1}*(N-i-j-1)$ 。

更改求和方式，枚举 $s=i+j$ ，有
$\sum_{s=m}^{N-1}(N-s-1)*\sum_{i=1}^{m-1}\binom{s-i-1}{m-i-1}$
$=\sum_{s=m}^{N-1}(N-s-1)*\sum_{i=0}^{m-2}\binom{s-m+i}{i}$
$=\sum_{s=m}^{N-1}(N-s-1)*\binom{s-1}{m-2}$

时间复杂度 $O(N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int getc(int x, int y) {
	if (y > x) return 0;
	else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void init(int n) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[n] = power(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int main() {
	freopen("perm.in", "r", stdin);
	freopen("perm.out", "w", stdout);
	int n, k, m, ans = 0;
	read(n), read(k), read(m);
	n -= k - m, init(n + 2);
	update(ans, getc(n - 1, m));
	for (int s = m; s <= n - 1; s++)
		update(ans, 1ll * (n - s - 1) * getc(s - 1, m - 2) % P);
	writeln(ans);
	return 0;
}

【校内训练2019-02-22】Permutation

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