[loj 6496]「雅礼集训 2018 Day1」仙人掌

传送门

Description

给出一张 \(n\)个点 \(m\)条边的无向连通图，其中每条边至多属于一个简单环，保证没有自环，可能有重边。你需要为其中每条边定向，其中第 \(i\)个点的出度不能超过\(a_i\) ，求方案数（对\(998244353\)取模）。

Solution

建出原图的圆方树，其中两个点和一条边组成的不算做一个双联通分量，它的根是\(1\)

定义\(f[x][i]\)表示，第\(x\)个点，它上面的点给它的入度为\(i\)，以\(x\)为根的子树内给边定向的方案数。

更清楚一点：

1. 如果\(x\)是一个圆点，且它的父亲也是圆点

   \(f[x][0/1]\)即表示它的父亲节点与它之间的边是否是指向\(x\)的

2. 如果\(x\)是一个方点，且它的父亲是圆点

   \(f[x][0/1/2]\)即表示这个环的最上面的两条边（就是于\(fa\)直接相连的那两条），不指向\(fa\)的数量(\(0/1/2\))

3. 如果\(x\)是一个圆点，且它的父亲是方点

   \(f[x][0/1/2]\)表示的就是它所在的环上与它直接相邻的两条边，指向它自己的边的数量\((0/1/2)\)

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\(dfs\)时考虑分情况转移：

1. \(x\)是圆点，显然有：
   \[ f[x][0]=\sum_{k_1+K_2+...+k_p\leq a[x]}\prod_{v_i} f[v_i][Sum_{v_i}-k_i] \]
   其中，如果\(v_i\)是方点，\(Sum_{v_i}=2\)，如果\(v_i\)是圆点，\(Sum_{v_i}=1\)

   因为是一个背包的形式，可以直接利用\(NTT\)加速

2. \(x\)是方点，设\(x\)的父亲节点是\(y\)

   枚举环上与\(y\)相连的一条边的方向，然后顺着环递推即可

最后，在进行分治\(NTT\)时，每次都把两个数组全部清空复杂度是不对的

每次做完后，把当前的数组有修改的地方清为\(0\)就行

代码写得真的很清楚啦

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
namespace IO
{
    const int lim=(1<<20)+5;
    char buf[lim+5],*S,*T;
    inline char gc(){if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,lim,stdin);if(S==T)return EOF;}return *S++;}
    inline int read()
    {
        int x;char ch;bool f;
        for(f=0;(ch=gc())<'0'||ch>'9';f=ch=='-');
        for(x=ch^'0';(ch=gc())>='0'&&ch<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'));
        return f?-x:x;
    }
}
#define reg register
#define son e[i].to
const int MN=1e5+5,P=998244353,g=3,invg=332748118,MX=524288;
int u[MX],v[MX],N;
void Add(int &x,int y){x+=y;if(x>=P)x-=P;}
class MyNTT
{
    int pos[MX],invN,di;
    int fpow(int x,int m){int r=1;for(;m;m>>=1,x=1ll*x*x%P)if(m&1)r=1ll*r*x%P;return r;}
    void NTT(int *a,bool type)
    {
        reg int w,wn,i,j,p,k,X,Y;
        for(i=0;i<N;++i) if(i<pos[i]) std::swap(a[pos[i]],a[i]);
        for(i=1;i<N;i<<=1)
        {
            wn=fpow(type?g:invg,(P-1)/(i<<1));
            for(p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(w=1,k=0;k<i;++k,w=1ll*w*wn%P)
            {
                X=a[j+k];Y=1ll*a[i+j+k]*w%P;
                a[j+k]=(X+Y)%P;a[i+j+k]=(X-Y+P)%P;
            }
        }
        if(!type)for(i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*invN*a[i]%P;
    }
    public:
        void Pro(int *a,int *b,int n,int m)
        {
            for(di=0,N=1;N<n+m;N<<=1,++di);invN=fpow(N,P-2);
            reg int i;
            for(i=0;i<N;++i)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(di-1));
            NTT(a,1);NTT(b,1);
            for(i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
            NTT(a,0);
        }
}ntt;
int pin,t;
struct Node{int x,nex;}O[MN*40];
class MyCDQ
{
    int res[MN];
    public:
        struct poly
        {
            int hr,n;
            poly(int _=0,int __=-1):hr(_),n(__){}
            void push_back(int x){++n;O[++pin]=(Node){x,hr};hr=pin;}
            void To_array(int *a){for(int i=hr,j=n;i;i=O[i].nex)a[j--]=O[i].x;}
        }p[MN];
        poly Cdq(int l,int r)
        {
            if(l==r) return p[l];
            reg int mid=(l+r)>>1;
            poly L=Cdq(l,mid),R=Cdq(mid+1,r);
            L.To_array(u);R.To_array(v);
            ntt.Pro(u,v,L.n+1,R.n+1);
            poly ans;for(reg int i=0;i<L.n+R.n+1;++i)ans.push_back(u[i]);
            for(reg int i=0;i<N;++i) u[i]=0;
            for(reg int i=0;i<N;++i) v[i]=0;
            return ans;
        }
        void clear(){t=0;}
        void add(){++t;p[t].hr=0;p[t].n=-1;}
        void pb(int x){p[t].push_back(x);}
        void get_ans(int &_0,int &_1,int &_2,int limi)
        {
            poly c=Cdq(1,t);
            c.To_array(res);
            for(reg int i=c.n+1;i<=limi;++i) res[i]=0;
            for(reg int i=1;i<=limi;++i) Add(res[i],res[i-1]);
            _0=res[limi];if(limi)_1=res[limi-1];if(limi>1)_2=res[limi-2];
        }
}cdq;
int n,m,du[MN],hr[MN],Hr[MN<<1],en=1,A[MN],f[MN<<1][3];
struct edge{int to,nex;}e[MN<<3];
inline void ins(int x,int y,int *h){e[++en]=(edge){y,h[x]};h[x]=en;}
int dfn[MN],low[MN],st[MN],tp,ind,num;
void tj(int x,int F=0)
{
    dfn[x]=low[x]=++ind;st[tp++]=x;
    reg int i;
    for(i=hr[x];i;i=e[i].nex)if(i^F^1)
    {
        if(!dfn[son])
        {
            tj(son,i);
            low[x]=min(low[x],low[son]);
            if(dfn[x]==low[son])
            {
                ++num;ins(x,num,Hr);
                for(;st[tp]!=son;--tp) ins(num,st[tp-1],Hr);
            }
            else if(low[son]>dfn[x]) --tp,ins(x,son,Hr);
        }
        else low[x]=min(low[x],dfn[son]);
    }
}
void dfs(int x)
{
    reg int i,j,_;
    for(i=Hr[x];i;i=e[i].nex) dfs(son);
    if(x<=n)
    {
        if(!Hr[x]) f[x][0]=1,f[x][1]=A[x]>0,f[x][2]=A[x]>1;
        else
        {
            cdq.clear();
            for(i=Hr[x];i;i=e[i].nex)
            {
                cdq.add();
                if(son>n) cdq.pb(f[son][2]);
                cdq.pb(f[son][1]);cdq.pb(f[son][0]);
            }
            cdq.get_ans(f[x][0],f[x][1],f[x][2],A[x]);
        }
    }
    else
    {
        for(_=0;_<2;++_)
        {
            int S0[2]={0,0},S1[2];S0[_]=1;
            for(i=Hr[x];i;i=e[i].nex)
            {
                S1[0]=(1ll*S0[0]*f[son][1]+1ll*S0[1]*f[son][2])%P;
                S1[1]=(1ll*S0[0]*f[son][0]+1ll*S0[1]*f[son][1])%P;
                S0[0]=S1[0];S0[1]=S1[1];
            }
            Add(f[x][_+1],S0[0]);
            Add(f[x][_],S0[1]);
        }
    }
}
int main()
{  
    num=n=IO::read();m=IO::read();
    reg int i,x,y;
    for(i=1;i<=m;++i) x=IO::read(),y=IO::read(),ins(x,y,hr),ins(y,x,hr),++du[x],++du[y];
    for(i=1;i<=n;++i) A[i]=IO::read(),A[i]=min(A[i],du[i]);
    for(i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tj(i);dfs(1);
    return 0*printf("%d\n",f[1][0]);
}

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