交叉临界图（一）
概念与简单性质
\(c\)-交叉临界图
设\(G\)是一个图，\(c\)是一个正整数．如果\(cr(G)\ge c\)并且对图\(G\)的任意真子图\(H\)都有\(cr(H)<c\)，则称\(G\)是一个\(c\)-交叉临界图，简称交叉临界图．
最小度
设\(G\)是一个\(c\)-交叉临界图．那么，显然\(G\)没有一度点，所以\(G\)的最小度至少为2；而且\(G\)不会有一个连通分支是圈．
进一步，我们还会发现研究最小度为\(2\)的交叉临界图是没有必要的．假定\(\delta(G)=2\)．设\(v\)是\(G\)上的2-度点，它的两个邻点分别为\(u\)和\(w\)．考虑对2-度点\(v\)做如下操作：删除点\(v\)然后连接\(uw\)．我们称之为：挤除(suppress)2-度点\(v\)．需要注意的是：这个操作不会改变交叉数．对\(G\)中的2-度点逐个挤除直到新图没有二度点，记新图为\(G'\)．由于挤除操作不改变交叉数，所以\(G'\)仍然是\(c\)-交叉临界图，而\(G\)只是\(G'\)的一个细分(subdivision)，所以只要\(G'\)的结构搞清楚了，\(G\)的结构就很清楚了．
所以，虽然交叉临界图可以有2-度点，但在实际研究工作中没有必要探讨2-度点的交叉临界图．我们通常只研究最小度至少为3的交叉临界图．
1-交叉临界图
在\(\delta\ge3\)的前提下，1-交叉临界图只有两种，就是：\(K_5\)和\(K_{3,3}\)．
这是因为：一方面，\(K_5\)和\(K_{3,3}\)显然是1-交叉临界图；另一方面，设\(G\)是\(\delta\ge3\)的1-交叉临界图，那么\(cr(G)\ge1\)，所以\(G\)不可平面化，所以\(G\)包含\(K_5\)-细分或\(K_{3,3}\)-细分，但是\(\delta(G)\ge3\)，所以\(G\)包含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)，而一个1-交叉临界图不可能以1-交叉临界图为真子图，所以\(G\)只能是\(K_5\)或\(K_{3,3}\)．这就是如下引理
引理（1-交叉临界图） 在\(\delta\ge3\)的前提下，\(1\)-交叉最小临界图只有\(K_5\)和\(K_{3,3}\)．\(\blacksquare\)
交叉临界图的研究意义
那么交叉临界图在交叉数研究中起什么作用呢？
我们还是从Kuratowski定理入手：图\(G\)不可平面化的根本原因，正是因为\(G\)包含\(K_5\)-细分和\(K_{3,3}\)-细分，在挤除2-度点的前提下，也就是因为\(G\)包含了\(K_5\)和\(K_{3,3}\)这两种1-交叉临界图，这两种1-交叉临界图就是\(G\)不可平面化的``极小障碍''，它们就是问题的关键．类似地，一个图的交叉数为\(c\)而不是\(c-1\)，正是因为它包含了某种\(c\)-交叉临界图．如果我们能将\(c\)-交叉临界图完全分类清楚，那么交叉数为\(c\)的图就能被完全刻画出来．这就是交叉临界图的研究意义．
但是，不幸的是，到目前为止，只有1-交叉临界图是完全分类清楚了的．2-交叉临界图的分类工作还有很长的路要走．
注意
即使一个图是\(c\)-交叉临界的，也不能说它的交叉数一定是\(c\)，只能说它的交叉数至少为\(c\)．例子很容易举出：任何不可平面化的边传递图显然都是交叉临界的．设\(G\)是一个不可平面化的边传递图，\(e\in E(G)\)，只要\(cr(G\setminus\{e\})\)与\(cr(G)\)是不连续的整数，那么任取一个介于二者之间的整数作为\(c\)就找到了这样的例子．完全图中很容易找到这样的例子．\(C_3\square C_3\)也是．
交叉临界与连通性
对任何正整数\(c\)，\(c\)-交叉临界图总是存在的．例如，\(cK_5\)，也就是\(c\)个连通分支、每个连通分支都是\(K_5\)的图，这个图显然是\(c\)-交叉临界的．
下面的事实是显而易见的．
如果\(G\)的连通分支为\(G_1,G_2,\dots,G_t\)，那么每个\(G_i\)都是交叉临界图．进一步地，设\(G_i\)是\(c_i\)-交叉连通图（\(i=1,2,\dots,t\)），那么
\[c=\sum_{i=1}^tc_i.\]
如果\(G\)的\(2\)-连通分支为\(G_1,G_2,\dots,G_t\)．那么每个\(G_i\)都是交叉临界图．进一步地，设\(G_i\)是\(c_i\)-交叉临界图（\(i=1,2,\dots,t\)），那么
\[c=\sum_{i=1}^tc_i.\]
因此，我们通常只研究最小度至少为3的、2-连通的、\(c\)-交叉临界图．