数据结构—二叉树（基于Python语法）知识点
树的概念
树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型
的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。
树是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1.每个节点有零个或多个子节点；
2.没有父节点的节点称为根节点；
3.每一个非根节点有且只有一个父节点；
4.除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
比如说：
树的专业术语
1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
3.叶节点或终端节点：度为零的节点；
4.父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点
的父节点；
5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节
点；
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
7.节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此
类推；
8.树的高度或深度：树中节点的最大层次；
9.堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
10.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
11.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
12.森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
1.如图，A节点的度为2,；B节点的度为3；K节点的度为0；
2.这棵树的度是3；
3.叶节点是K,J,F,L,O,P
4.节点的层次是5
5.M与N是堂兄弟节点，M与L是兄弟节点
6.若将根节点A去掉，则形成B与C两个根节点，此时B与C对应的树的集合就是森林。
树的种类
A. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序
树，也称为自由树；
B. 有序树：树中任意节点的⼦节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
B. 1二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
B. 1.1完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d
层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从
左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的
定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
平衡二叉树（AVL树加粗样式）：当且仅当任何节点的两棵⼦树的⾼度
差不大于1的二叉树；
排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称
二叉搜索树、有序二叉树）；
B. 2 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的⼆叉树称为哈夫曼树
或最优二叉树；
B. 3 B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数
据有序，拥有多余两个子树
二叉树概念
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left
subtree）和“右子树”（right subtree）
二叉树的节点表示以及树的创建
使用Python来创建Node类中定义三个属性，分别为item本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子
class Node(object):
"""结点类"""
def __init__(self, item):
self.item = item
self.lchild = None
self.rchild = None
树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节
点
class BinaryTree(object):
"""二叉树"""
def __init__(self, node=None):
self.root = node
def add(self, item):
"""
广度优先遍历方式添加结点
:param item:
:return:
"""
if self.root is None: #如果根节点不存在则返回空
self.root = Node(item)
else:
queue = [] #根节点存在添加到空列表
queue.append(self.root)
while len(queue) > 0:
node = queue.pop(0) #将queue列表的首个元素拿出赋值给node节点
if not node.lchild:
node.lchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.lchild)
if not node.rchild:
node.rchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.rchild)
二叉树性质
性质1: 在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的⼆叉树最多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数
为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上到下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左
孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为
根,除外）
完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～
h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是
从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最
底层的二叉树
二叉树的遍历
树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访
问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点
的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍
历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下
能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。
广度遍历
在这个深度为4 的完全二叉树中，运用广度优先遍历，需要从树的root开始，从上到下，从左到右遍历整个树的节点。
广度遍历：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
用Python代码来实现的话，需要先定义广度优先遍历的方法：
def breadh_travel(self):
"""广度优先遍历（用队列）"""
if self.root is None: #如果根节点不存在则返回空
return
queue = [] #根节点存在添加到空列表
queue.append(self.root)
while len(queue)>0: #将queue列表的首个元素拿出赋值给node节点
node = queue.pop(0)
print(node.item, end=" ")
if node.lchild: #比较node是否存在左右子树循环后打印node的元素
queue.append(node.lchild)
if node.rchild:
queue.append(node.rchild)
深度遍历
对于一棵二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树
的节点，尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们
之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历
（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。
在这个深度为4的满二叉树中， 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树。
根节点->左子树->右子树
先序遍历 ：A,B,D,H,I,E,J,K,C,F,L,M,G,N,O
用Python代码来实现的话，需要定义广度先序遍历的方法：
def preorder_travel(self, root):
"""先序 根 左 右"""
if root: #根节点存在则递归执行‘根左右’
print(root.item, end=" ")
self.preorder_travel(root.lchild)
self.preorder_travel(root.rchild)
在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问
根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树
左子树->根节点->右子树
**中序遍历：H,D,I,B,J,E,K,A,L,F,M,C,N,G,O
用Python代码来实现的话，需要定义广度中序遍历**的方法：
def inorder_travel(self, root):
"""中序 左 根 右"""
if root: #根节点存在则递归执行‘左根右’
self.inorder_travel(root.lchild)
print(root.item, end=" ")
self.inorder_travel(root.rchild)
在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子
树，最后访问根节点
左子树->右子树->根节点
后序遍历：H,I,D,J,E,K,B,L,M,F,N,O,G,C,A
用Python代码来实现的话，需要定义广度后序遍历的方法：
def postorder_travel(self, root):
"""后序 左 右 根"""
if root: #根节点存在则递归执行‘左右根’
self.postorder_travel(root.lchild)
self.postorder_travel(root.rchild)
print(root.item, end=" ")
二叉树全部代码及测试
class Node(object):
"""结点类"""
def __init__(self, item):
self.item = item
self.lchild = None
self.rchild = None
class BinaryTree(object):
"""二叉树"""
def __init__(self, node=None):
self.root = node
def add(self, item):
"""
广度优先遍历方式添加结点
:param item:
:return:
"""
if self.root is None:
self.root = Node(item)
else:
queue = []
queue.append(self.root)
while len(queue) > 0:
node = queue.pop(0)
if not node.lchild:
node.lchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.lchild)
if not node.rchild:
node.rchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.rchild)
def breadh_travel(self):
"""广度优先遍历"""
if self.root is None:
return
queue = []
queue.append(self.root)
while len(queue)>0:
node = queue.pop(0)
print(node.item, end=" ")
if node.lchild:
queue.append(node.lchild)
if node.rchild:
queue.append(node.rchild)
def preorder_travel(self, root):
"""先序 根 左 右"""
if root:
print(root.item, end=" ")
self.preorder_travel(root.lchild)
self.preorder_travel(root.rchild)
def inorder_travel(self, root):
"""中序 左 根 右"""
if root:
self.inorder_travel(root.lchild)
print(root.item, end=" ")
self.inorder_travel(root.rchild)
def postorder_travel(self, root):
"""后序 左 右 根"""
if root:
self.postorder_travel(root.lchild)
self.postorder_travel(root.rchild)
print(root.item, end=" ")
if __name__ == '__main__':
tree = BinaryTree()
tree.add(0)
tree.add(1)
tree.add(2)
tree.add(3)
tree.add(4)
tree.add(5)
tree.add(6)
tree.add(7)
tree.add(8)
tree.add(9)
tree.breadh_travel()
print("")
tree.preorder_travel(tree.root)
print("")
tree.inorder_travel(tree.root)
print("")
tree.postorder_travel(tree.root)
print("")
输出结果为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 3 7 8 4 9 2 5 6
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0