题目描述
如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。我们使用Insert()方法读取数据流，使用GetMedian()方法获取当前读取数据的中位数。
对于C++ STL 中的堆的相关操作可以查看此博客 【C++ STL应用与实现】72: 标准库里的堆--如何使用标准库的heap算法
算法思想：
由于数据是从一个数据流中读出来的，因而数据的数目会随着时间的变化而增加。这是一个在线算法。由于读出的数据不是已经排序好的。
- 如果使用数组或者是链表，还要考虑排序的情况。排序好的数组和链表，插入的时间复杂度是O(n)，得到中位数的时间复杂度O(1)。
- 使用二叉搜索树，可以把插入新数据的平均时间降低到O(logn)。但是最坏的情况是，二叉搜索树极度不平衡，会像一个链表，插入的时间复杂度是O(n)，得到中位数的时间复杂度也是O(n)。
- 可以考虑使用AVL树和堆结构，下面使用的是堆结构。
| 数据结构 | 插入的时间复杂度 | 得到中位数的时间复杂度 |
| 没有排序的数组 | O(1) | O(n) |
| 排序的数组 | O(n) | O(1) |
| 排序的链表 | O(n) | O(1) |
| 二叉搜索树 | 平均O(logn)，最差O(n) | 平均O(logn)，最差O(n) |
| AVL树 | O(logn) | O(1) |
| 最大堆和最小堆 | O(logn) | O(1) |
解法：
如果数据就是已经排序好的，这是我们最希望看到的情况，然后事实不可能是这样的，（你想太多）。
- 假定数据就是从小到大排序好的，且数量为偶数，那么我们就是取前 n/2 的数据的最大值和后 n/2 的数据的最小值的均值。
- 如果数据个数是奇数，就取后 n/2 的数据的最小的数。
- 那么我们就可以使用一个最大堆和一个最小堆。用一个最大堆来维护当前前n/2小的元素，用一个最小堆来维护当前后n/2大的元素。
- 由于数据是实时插入的，
- 当插入的数据量是偶数时：则把新数据插入最小堆，如果插入的数比最大堆的堆顶元素小，则先把新数据插入最大堆，然后把最大堆的最大值（堆顶元素）插入最小堆。
- 当插入的数据量是奇数时：则把新数据插入最大堆，如果插入的数比最小堆的堆顶元素大，则先把新数据插入最小堆，然后把最小堆的最小值（堆顶元素）插入最大堆。
- 最后：数量为奇数时，取最小堆的堆顶元素。数量为偶数时，取最大堆和最小堆的两个堆顶元素的均值。
class Solution {
private:
vector<int>min;
vector<int>max;
public:
void Insert(int num)
{
if( ((min.size() + max.size()) & 1) == 0)
{
if(max.size() > 0 && num < max[0])
{
max.push_back(num);
push_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
num = max[0];
pop_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
max.pop_back();
}
min.push_back(num);
push_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
}
else
{
if(min.size()>0 && num > min[0])
{
min.push_back(num);
push_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
num = min[0];
pop_heap(min.begin(), min.end(), greater<int>());
min.pop_back();
}
max.push_back(num);
push_heap(max.begin(), max.end(), less<int>());
}
}
double GetMedian()
{
int size = min.size() + max.size();
if(size == 0)
{
return -1;
}
double median;
if((size & 1) == 1)
median = (double)min[0];
else
median = (double)(max[0] + min[0]) / 2;
return median;
}
};