今天是李昊老师的讲授~~
总结了一下今天的内容：
1.高精度算法
（1） 高精度加法
思路：模拟竖式运算
注意：进位
优化：压位
程序代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-'0';
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-'0';
int lenc=max(lena,lenb);
for(int i=1;i<=lenc;i++)c[i]=a[i]+b[i]; //先将每一对应位加起来
for(int i=1;i<=lenc;i++){
c[i+1]+=c[i]/10; //进位
c[i]%=10;
}
while(c[lenc+1]>0) lenc+=1; //如果位数增多，则lenc++
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考虑负数的情况：
若只有一个负数，那么就成为正加数-另一个加数的形式；
若有两个负数，那么先算两个数的绝对值的和，再加上个负号‘-’；
（2） 高精度减法
思路：模拟竖式运算，考虑进位
注意：结果为0的情况
程序代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-'0';
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-'0';
int lenc=max(lena,lenb);
for(int i=1;i<=lenc;i++)c[i]=a[i]-b[i]; //先将每一对应位都相减，方便借位处理
for(int i=1;i<=lenc;i++){
if(c[i]<0) //若不够0，就向高位借位+10，高位--
{
c[i]+=10;
c[i+1]--;
}
}
while(c[lenc]==0) lenc--; //除去前导0
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考虑负数的情况：
若只有一个负数：
<1>负数-正数 转化为两数绝对值相加，然后在前面加个负号‘-’；
<2>正数-负数 转化为两数绝对值相加；
若有两个负数：
转化为被减数的绝对值-减数的绝对值；
！！！小数减大数de处理方法：
用大数减小数，然后在前面加上负号‘-’；
（3） 高精度乘法
思路：模拟竖式运算，考虑进位
注意：结果为0的情况
程序代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-'0';
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-'0';
int lenc;
for(int i=1;i<=lena;i++)
for(int j=1;j<=lenb;j++)
c[i+j-1]+=a[i]*b[j]; //对应位相乘
for(int i=1;i<lena+lenb;i++)
{
c[i+1]+=c[i]/10; //进位
c[i]%=10;
}
lenc=lena+lenb-1;
while(c[lenc+1]>0) lenc++; //如果位数增多，lenc++
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考虑负数的情况：
若有一个负数： 正常绝对值相乘，前面加负号‘-’；
若有两个负数： 正常绝对值相乘；
（4） 高精度除法 ——高精除单精
思路：模拟竖式运算
程序代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000],b1;
int main(){
scanf("%s",a1);
cin>>b1;
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-'0';
for(int i=lena;i>0;i--){
c[i]=a[i]/b1;
a[i-1]+=(a[i]%b1)*10; 第lena位除以b1后的余数*10+第lena-1位的数继续除
}
while(c[lena]==0 && lena>0)lena--;
for(int i=lena;i>0;i--)printf("%d",c[i]);
return 0;
}
2.模意义下运算
例：
在模7意义下的运算：
3*3=9≡2 （mod 7）
4+5=9≡2 （mod 7）
4-5=-1≡6 （mod 7）
注意：无除法运算
那碰到除法的怎么办呢？？？
假设a*b=t（mod p）：
我们都知道费马小定理：
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
t*a^（p-2）≡b （mod p）
t/a≡b （mod p）
so 模意义下/a相当于*a^（p-2）
模意义下运算的性质：
1.满足基本的交换律，分配率，结合律；
2.对中间结果取模不影响最终答案；
3.快速幂
首先让我们思考一下怎么求a^b%p？
有两种求法：
分治
简单说一下，就是要求a^b，那么我们就求a^(b/2)再平方就好啦，求a^(b/2)同理
快速幂
4.费马小定理
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
应用：
计算组合数C（n，m）%（10^9+7）
C（n，m）=n!/（（n-m）！*m！）
=n!*（（n-m）！*m！）^（p-2）
=n!*（(（n-m）!)^（p-2）*(m！)^（p-2））
所以我们只要预处理任意n！，（n！）^（p-2）就好了
