清北澡堂Day 3 上午

1.数论函数的卷积公式

(ƒ*g)(n)=Σ_d|nƒ(d)×g(n/d)

已知f*[1~n]，g[1~n]

怎么求(f*g)[1~n]?

　　一个个求复杂度O(n根号n)

如何加速？

　　考虑更换枚举顺序（这点很重要，在接下来的一些求和运算中会用到）

　　枚举代码：

ll f[N],g[N],h[N];
void calc(int n)
{
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
    {
        h[i*j]+=f[i]*g[i];
        for(int j=i+1;i*j<=n;j++)
            h[i*j]+=f[i]*g[j]+f[j]*g[i];
    }
}

这样子速度就会变为n log n

例子1：

求当a≤x≤b，c≤y≤d时，gcd(x,y)=1的个数

前缀和如图

 式子为：

Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^m [gcd(i,j)=1]

　　[]意思：为真返回1否则返回0

　　联系到莫比乌斯函数μ(d)

　　Σ_d|n μ(d)：

　　　　当n=1时它=1

　　　　否则=0

这两个是可以等效替换的：

Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^m Σ_d|gcd(i,j)μ(d)

交换枚举顺序，降到了线性复杂度:

对于这个东西：

d从1枚举到n时，可能的取值只有o（根号n）种

由于当1≤d≤根号n和根号n≤d≤n时，最多情况数都是